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点と直線の距離?

数学(2)のはじめのほうの単元です。 点と直線の距離だったかな? 直線l:x+2y=5に関して点A(4,3)と対称な点Bの座標を求めよ。 という問題です。 この手の問題の解き方がわかりません。 やり方を教えてください~(>_<)

noname#37213
noname#37213

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • o-totoro
  • ベストアンサー率39% (16/41)
回答No.3

x+2y=5を次のように表します y=-1/2x+5/2 これは傾きが-1/2でy軸との交点が5/2(=2.5)の直線です。 この直線lと点Aの距離を求める為に、点Aを通り直線lに垂直な線mを求めます。(垂直に交わる線分が最短距離のため) 直線mの傾きは2(掛けて-1になる数)なので 直線m:y=2x+b と表せます。 次に直線mは点A(4,3)を通るので、これを式に代入してb=-5となり、 直線m:y=2x-5 ということになります。 直線lと直線mとの交点Cを求めると。(ふたつの方程式を解くと) 点C(3,1) がわかります。 点C(3,1)は、点A(4,3)と点B(u、v)の中間にあるので 点Bは(2,-1) ということがわかります。 数学的に解くと、 3=(4+u)/2→U=2 1=(3+v)/2→v=-1となります。 おわかりいただけたでしょうか?

noname#37213
質問者

お礼

詳しい解説ありがとうございます。 とてもわかりやすかったです。

その他の回答 (4)

  • ryumu
  • ベストアンサー率44% (65/145)
回答No.5

みなさんがもう答えられてるのでくどくなりますけど、ちょっとだけひねって・・・ 直線      ax+by+c=0    に垂直な直線の一般式は、      bx-ay+d=0    とかけます(証明は、ベクトルなり、傾きの積が-1になることを利用すればできます)。 つまり、x+2y-5=0の垂直線の一般式は、2x-y+d=0 ・・(*)となります。 dは点(4,3)を通ることから、d=-5となります。 2式より、交点は、(3,1)となり、求める点は式(*)上にあることから、(t、2t-5)と表せます。 あとは(4,3)と(t、2t-5)の中点が(3,1)であることを考慮して、(t、2t-5)=(2,-1)となります。 ・・・・ん???ひねれてない?!

noname#37213
質問者

お礼

おおっ、なんか新しい解き方じゃないですか? あまり深い事は分かりませんがなんか凄いです。 レスありがとうございました。

  • master-h
  • ベストアンサー率48% (19/39)
回答No.4

まず、問題の式を変形します。 x+2y=5 → y=-(1/2)x+(5/2) また、点Aと点Bが直線で対称という事は、 この二つの点を結んだ時にできる線分ABの中点が、 問題の直線上にあるという事です。 線分ABの式を一般的な直線の式で  y=ax+b としましょう。 この時、aを直線の傾き、bをy切片といいます。 さて、点Aと点Bが問題の直線で対称ということなので、 線分ABは、問題の直線に対して、垂直に交わります。 直線同士が、垂直に交わる条件は、 直線の傾きの積の値が、-1になることです。            (↑これは、重要なので覚えておいてください) 問題の直線の式を変形した事によって、 直線の傾きが-(1/2)だとわかりました。 では、この-(1/2)とかけ算して-1になる数字は、2です。 したがって、線分ABの式のaの値が2だとわかりました。 ここまでで、線分ABの式は、y=2x+b となります。 この直線の式は、当然、点Aを通るので、点Aの値を代入すると 3=(2×4)+b となり、b=-5 だとわかります。 これにより線分ABの式は y=2x-5 だと求められました。 次に直線と線分ABの交点を求めます。 直線の式のyに線分ABの式を代入すると x+2(2x-5)=5 となります。 これによりx=3だとわかります。 また線分ABの式にx=3を代入してy=1が求められます。 これが、線分ABの中点の座標です。 点Bの座標を(X1、Y1)とします。 2つの点の中点の座標の求め方に当てはめて方程式を作ります。 (X1+4)/2=3 (Y1+3)/2=1 これよりX1=2、Y1=-1となります。 したがって、点Bの座標は(2,-1)となります。 説明がくどくて申し訳ないです。

noname#37213
質問者

お礼

凄い詳しいですね、参考になりました。 私の為に長々と書かせてしまいましたお疲れでしょう。 どうもありがとうございました。

  • a-kuma
  • ベストアンサー率50% (1122/2211)
回答No.2

では、やり方だけ。 x+2y=5 を y=ax+b の形に変形すると、その a が直線Lの傾きになります。 直線Lと直行する直線L'は y=-1/a x + b' と表されます。 その L' は、点A を通るのですから、b' を求めることができます。 直線L'が求まれば、それと直線L との交点の座標(仮に、点Cとします)を 求めることができます。 点Bは、直線L' の上にあり、点Cは、点Aと点Bの中点なのですから、 (Xc,Yc)=((Xa+Xb)÷2, (Ya+Yb)÷2) を満たします。 # しばらく数学なんてやってないので、もっとエレガントな解法があるかも

noname#37213
質問者

お礼

なんとか解くことが出来ました。 レスありがとうございました。

noname#53364
noname#53364
回答No.1

いろいろなやり方がありますが基本の方法 考えるべきはABの中点をpと置くと ABの中点Pがx+2y=5上 x+2y=5とABが垂直 を使います。 B(a,b)おくと 中点P(a+4/2,b+3/2)これがx+2y=5上より (a+4/2)+2(b+3/2)=5 ABの傾きは(b-4/a-3) これがx+2y=5と垂直より (b-4/a-3)*(-1/2)=-1 これを解けばBが求まります。 細かい計算は自分で確認してね。 他にも方法あるんじゃないかな。

noname#37213
質問者

お礼

どうもありがとうございました。 無事解くことができました。

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