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ラグランジュの未定乗数法について
- ラグランジュ未定乗数法を使った問題で、条件式と目的関数が与えられた場合の最大値と最小値の求め方が分からない。
- 未定乗数法を用いると、制約条件のもとでの最大値や最小値を求めることができる。
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いつも有り難く利用させていただいております。 今回は、ラグランジュの未定乗数法について少々お聞きしたいのですが、 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/lagrange.htm のラグランジュの未定乗数法の説明のところで、("A_x"でAをxで偏微分することを意味している) 制約条件をＧ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝０ 、（ ａ ， ｂ ， ｃ ）で、極致を求めたい関数をＦ（ｘ ， ｙ ， ｚ ）としておくと、 このとき、Ｇ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝０ から、ｚ が ｘ ， ｙ の関数になっているとすると、関数Ｆ は ｘ ， ｙ の関数になるので、（ ａ ， ｂ ， ｃ ）において、 Ｆ_ｘ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｘ＝０ 、 Ｆ_ｙ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｙ＝０ が成り立つ。 ここで、ｚ_ｘ 、ｚ_ｙ は、次の式により与えられる。 Ｇ_ｘ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｘ＝０ 、 Ｇ_ｙ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｙ＝０ そこで、（ ａ ， ｂ ， ｃ ）における －Ｆ_ｚ/Ｇ_ｚ の値を、λ とおくと、 Ｆ_ｚ＋λＧ_ｚ＝０ が成り立ち、 さらに、Ｆ_ｘ＋λＧ_ｘ＝０ 、 Ｆ_ｙ＋λＧ_ｙ＝０ が成り立つ。 したがって、４つの式 Ｇ＝０ 、Ｆ_ｘ＋λＧ_ｘ＝０ 、Ｆ_ｙ＋λＧ_ｙ＝０ 、Ｆ_ｚ＋λＧ_ｚ＝０ を解くことにより、極値を与える候補の点（ ａ ， ｂ ， ｃ ）が求められる。 と、記載されているのですが、 Ｇ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝０ から、ｚ が ｘ ， ｙ の関数になっているとすると、関数Ｆ はｘ ， ｙ の関数になるので、（ ａ ， ｂ ， ｃ ）において、 Ｆ_ｘ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｘ＝０ 、 Ｆ_ｙ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｙ＝０ が成り立つ。 ここで、ｚ_ｘ 、ｚ_ｙ は、次の式により与えられる。 Ｇ_ｘ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｘ＝０ 、 Ｇ_ｙ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｙ＝０ の部分の、 Ｆ_ｘ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｘ＝０ 、 Ｆ_ｙ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｙ＝０ と、 Ｇ_ｘ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｘ＝０ 、 Ｇ_ｙ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｙ＝０ の式はどのようにして出てきているのでしょうか？
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お礼
行列で考えればよかったのですね。ありがとうございます。お陰様でできました。