円のベクトル方程式 大分大入試

質問

04年の大分大入試ですが、全然わかりません。

できれば、詳しい解説をお願いします。

　座標平面上に3点A(2,0)、B(4,0)、C(0,4)がある。点D(0,1)を中心とする半径1の円の周上の点Pが、次の条件を満たすとき、点Pと直線ACの距離を求めよ。

AC・(2AP－AB)＝|AC|^2

アルファベットのACは「エーシーベクトル」。他も同様です。

よろしくお願いします。

回答No.2

think2nd · ベストアンサー

点Pを単位円上のどこへ取るかピンポイントで置けないのが、鉛筆が止まる原因かな?がむしゃらに計算しよう。
すべて座標系で解きましょ。題意に沿った、図を書いてください。
点Pの座標をP(x,y)とする。直線ACの方程式はx/2+y/4=1　すなわち2x+y-4=0・・・(1)　
各ベクトルの成分表示はAB=(2,0)　AP=OP-OA=(x-2,y)　AC=(-2,4)だから2AP-AB=(2x-6,2y)
以上よりベクトルACと2AP-APとの内積はAC・(2AP-AP)=-4x+12+8y
一方|AC|=√20だから、与式に代入して-4x+12+8y=20　∴x=2y-2・・・(2)
Pは単位円上にあるから、円の方程式x^2+(y-1)^2=1に(2)を代入してyを求めるとy=1±√5/5
(1)に代入してx=±2√5/5　だから条件を満たすPは2つあってP(±2√5/5,1±√5/5)　(復号同順)
i)直線(1)と点P(2√5/5,1+√5/5)との距離dは
　　d=|4√5/5+1+√5/5+1-4|/√(2^2+1^2)　よりd=1-3/√5　かな
ii)P(-2√5/5,1-√5/5)と直線(1)との距離hも同様にして
　　　h=1+3/√5　　かな

お礼

ありがとうございました！
すごくわかりやすくて、助かりました。

どうも円のベクトルが苦手だったので、あの解法はほかの問題でも、参考にさせていただきます！

その大分大の問題の近辺に、理科大の解らない問題も載せています。
もし余裕がありましたら、よろしくお願いします！

回答No.3

think2nd

ごめんなさい先ほどの回答(2)　の訂正です。2か所あります。
　1つ目　は　回答の　8行目の(1)は(2)に代入しています。
　2つ目　は　i)　は絶対値を取っていますからd=-1+3/√5
でした(笑)

回答No.1

ran-neko

原点から点Ｘへのベクトルを単にＸと書くことにします。

P=(cosθ、1+sinθ)と書けるので
AC・(2AP－AB)
=（-2、４）・｛（2cosθ-４、２sinθ+２）-(2,0)｝
=（-2、４）・（２cosθ-6、２sinθ+2）
=４（-cosθ+３+２sinθ+2）=(右辺)＝20
よって
2sinθ-cosθ＝0
⇔tanθ＝1/2
tanθはＤＰの傾きを示しているので条件を満たすＰが分かった。

条件を満たすＰのちＡＣに近い方をＰ１、もうひとつをＰ２とするとき
ＤＰとＡＣは直行し　かつ円の中心Ｄを通るのでＡＣとＤの距離を求めれば十分である。
点と直線の公式によりこの距離は√（5/3）　よって求める距離は±1+√（5/3）