不等式の証明

質問

近所の高校生からの質問。まず、問題を書いておく。

文字は全て、実数とする。bとaは定数とする。
b＞a＞0、a≦x≦b、a≦y≦b、a≦z≦b、x＋y＋z＝a＋2b　の時、xyz≧ab＾2　を証明せよ。

どこかの大学入試の過去問　(原題は段階式になってるが、それではつまらないので単一問題として考えたい)　だそうだが、解けるには解ける。
以下は、私の略解。

x-a＝α、b-y＝β、b-z＝γ　とすると、α＝β＋γ‥‥(1)、条件から、0≦α≦b-a、0≦β≦b-a、0≦γ≦b-a　‥‥(2)
そこで、xyz＝(a＋α)(b-β)(b-β)＝(1)を使うと＝(a＋α)(b＾2-bα＋βγ)≧b(a＋α)(b-α)であるから、(a＋α)(b-α)の最小値を　0≦α≦b-a　で考えると、α＝0、or、α＝b-a　で最小。
よって、xyz≧ab＾2　であり、そのとき3つの変数の中で2つはb、1つはa 。

で証明はできるんだが、xとyとzについて綺麗な形で与えられてるのに、こんな方法しかないだろうか？と、いうのが私の質問です。
検討をお願い致します。

回答No.3

noname#151558 · ベストアンサー

重大なミスしてしまった。

>>x1/a・Π(j=2～n)xj/b<1 から
　　各j=2,3,・・・,nに対して　
xj/b<(a/x1)^(n-1)

ここが間違い。

x1/a・Π(j=2～n)xj/b<1なので

min(j=2,3,・・・,n){xj/b} ＜(a/x1)^(n-1)　にしなきゃいけない。

すると
b/a∑(j=2～n)(1-xj/b)＞b/a(1-(a/x1)^(n-1))
≧b/a(1-(a/x1))
＝b/a-a/x1

それ以降はさっき回答したのと同じ。

それから、まだこれと別なシンプルな方法が見つかっていないのでもし見つかれば以後載せる予定。

お礼

かぜを引いてしまいお礼が遅くなり失礼致しました。

そこまでの一般化は考えていませんでしたが、高校生にはともかく、私には大変参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.6

112233445

質問の意図に合致しないような感じであること、また、
他の人の考えと、同じかも知れませんが、ご意見があればと思います。

xを固定して考えて
g=xyz
=xy{(a+2b)-(x+y)}
=-x{y-(a+2b-x)/2}^2+...
y=aかy=bで最小値を取る。
(1)y=aのとき、
g=-a(x-b)^2+ab^2
b<=x<=2b-aだから、a<=x<=bとあわせると
　xの取り得る値は、x=b
よって、最小値は、ab^2
(2)も同様に考える。

お礼

かぜを引いてしまい、お礼が遅くなり失礼致しました。

その方法は、実は私がやってみた方法です。1文字消去して、x＋y＝m、xy＝n　としてmとnの関係に転化して、線形計画のようにして座標から解く‥‥でもできたんですが、余り感心しないな、というのが私自身の感想でした。

でも、同じ考え方をする人がいるんだな、と思いました。ありがとうございます。

回答No.5

alice_44

しまった。
(c,c,c) から三辺に降ろした垂線の足
(b,m,m), (m,b,m), (m,m,b) ただし m = (a+b)/2 が
臨界点だった。
ここでの xyz = bmm が最小でないことは、
やはり相加相乗平均の関係 m ≧ √(ab) から出る。

回答No.4

alice_44

高校生向けに…というのが難儀だなあ。
A No.1 の流儀で、
わりとアッサリ計算できるのだけど。

c = (a+2b)/3 と置いて、
(x-c,y-c,z-c)・∇log(xyz) ≦ 0 であることが
相加相乗平均の関係を使って簡単に導ける。
(x,y,z) の変域を考慮すれば、
log(x,y,z) の最小点は三角形の頂点
(a,b,b), (b,a,b), (b,b,a) のいづれかだと判る。

∇が禁止だと、ちょっと思いつかない。

お礼

回答ありがとうございます。かぜを引いてしまい、お礼が遅くなり、失礼致しました。

なるほど、相加平均・相乗平均には考えが及びませんでしたので参考になります。
おっしゃるとおり、高校生に対する回答というのが問題でした。
彼も、私の回答で納得したようですが、千葉大学の問題だそうです。

回答No.2

noname#151558

計算はそれほど多大な複雑さではないが、この証明ができれば質問の証明も示せる。
まずは一般に拡張した不等式で示してみよう。

実は
n≧1のとき
　　　　　　　　　　　∑(i=1～n)xi=a＋(n-1)b のとき
　　　　　　　　　　　Π(i=1～n)xi≧ab^(n-1) ・・・・・・・・(*)
ただし、
xiはi=1,2,・・・・,nについて区間[a,b]に属し(b>a)
かつ
a≦x1≦x2≦・・・・・・≦xn≦bとする

が成立する。　以後はn≧2とする。

ではこれが本当に成り立つかどうか示さなくてはならない。

もちろん(*)を示すにはa≦x1≦x2≦・・・・・・≦xn≦bという仮定が入っても一般性が失われない。

(*)を書きかえると
(x1-a)=∑(j=2～n)(b-xj)　ならば
　　　　　　　　　x1/a・Π(j=2～n)xj/b≧1

対偶を用いて
　　　　　　　　　x1/a・Π(j=2～n)xj/b<1 ならば
　　　　　　　　　(x1/a-1)≠b/a∑(j=2～n)(1-xj/b)　　　　・・・・・・・・・(#)

を示せばよい。
　　x1/a・Π(j=2～n)xj/b<1 から
　　各j=2,3,・・・,nに対して　
xj/b<(a/x1)^(n-1)

よって　b/a∑(j=2～n)(1-xj/b)>　b/a∑(j=2～n)(1-(a/x1)^(n-1))
＝b/a・(n-1){1-(a/x1)^(n-1)}

n≧2、(a/x1)≦1より
b/a・(n-1){1-(a/x1)^(n-1)}≧b/a{1-(a/x1)}=b/a-(b/x1)

さて、
F(x1)=(x1/a)-1-{b/a-(b/x1)}　 (x1∈[a,b])
とおくと
これはx1∈[a,b]について
F(x1)≦0 x1=a,bのみ等号成立
がいえる。　これは各自試みてほしい

なので
(x1/a)-1≦b/a-(b/x1)　　が成立したことが分かって
最終的に
(x1/a)-1＜b/a∑(j=2～n)(1-xj/b)
となって
(x1/a)-1≠b/a∑(j=2～n)(1-xj/b)

したがって(#)が今示せたので(*)も成り立つことが分かった。

n=3のときは質問内容と全く同じである。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、そのようにすれば解けますね。一般から特殊への考え方は、大いに参考になりました。

ただ、私が求めているのは“高校生にも理解できそうなsimpleな解法”なんです。
その解法が欲しい。

回答No.1

naniwacchi

この問題のときと同様に考えることができるのでは？
http://okwave.jp/qa/q6575314.html

「xとyとzについて綺麗な形で」と感じれば、
一度図にしてみることを考えてもいいと思う。

xyzはちょうど直方体の体積であり、
点(x, y, z)の存在できる領域は、1辺が b-aの立方体となる。

平面がこの立方体のどこを横切るかを考えてみると、
ちょうど立方体の 3つの頂点(a, b, b)、(b, a, b)、(b, b, a)を通るようになる。
（実は、この頂点が最小値を与える点）

この正三角形内の点をベクトルを用いて表せば、
2変数の最小値の問題に置き換えられる。
計算は少々面倒かもしれないが。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6575314.html

補足

回答ありがとうございます。

＞この問題のときと同様に考えることができるのでは？

2変数ずつの和が一定でないから、その方法は簡単にいかない。

＞計算は少々面倒かもしれないが。

それは避けたい。それなら、1文字消去の方がまだbetterと思うが？
ごちゃごちゃ計算する方法以外に、simpleにいかないか？と、いうのが質問の意図。