偶数と奇数の和は奇数になることを説明しなさい

質問

中2の数学の問題です。

問題：
偶数と奇数の和は奇数になることを説明しなさい。

問題集の解答で疑問に思う点がありましたので質問させていただきます。
解答：
m,nを自然数とすると偶数は2m、奇数は2n-1と表せる。
2数の和は、
2m+2n-1=2(m+n)-1
m+nは自然数だから2(m+n)は偶数になり、2(m+n)-1は奇数になる。
よって偶数と奇数の和は奇数である。
（証明終わり）

上記証明でわからない点が2点あります。
(1)m,nをなぜ自然数に限定しているのか。
m,nは一般に整数ではないのでしょうか？中学レベルではマイナスの数も
偶数、奇数が定義できると思うので、私はこのm,nは整数と置くのが正しい
答え方だと思うのですが、いかがでしょうか？

(2)もしm,nが自然数と置くのが正しいとしたとき、奇数を2n+3とおいてしまうと
3(n=1)から始まる奇数になり一般に自然数全体で証明したことにならないの
ではないかという疑問があります。
2m+2n+3=2(m+n+1)+1
このような解答も見かけます。
文字式の計算上は奇数といえますが、nが自然数で奇数を2n+3とおいても
問題ないのでしょうか？　

ご回答よろしくお願いします。

回答No.3

naka_sty · ベストアンサー

(1)についてですが、
負の数や0も、奇数・偶数として考える場合もあるので
m,nは整数としておくことが正解ではあります。

しかしながら、文部科学省が作った中学の教科書などでは
偶数、奇数に「0」や「負の数」を含めず、
自然数のみとして教えています。
なので、m,nを自然数に限定しているものだと考えられます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに教科書には偶数・奇数に0や負の数が含まれることは
記載していなかったように思います（後日確認してみます）。
ただ、学校の授業では0や負の数にも偶数・奇数の概念がある
と学習しているようなのです。
ですので、m,nを自然数としているところにものすごく
違和感を感じました。

なるほど、教科書ベースで考えれば限定しているのは
おかしいことではないのですね。納得です。

回答No.4

htms42

自然数に限定しての話としておきます。

どれだけの事を前提にして論じるのでしょうか。

偶数、奇数をどう定義するのでしょうか。
１は奇数、２は偶数は初めに認めてしまうのでしょうか。

１が奇数であるというのを認めるのであれば
偶数を２ｍとした時、２ｍ＋１が奇数になるというのは
偶数＋奇数＝奇数　という関係をつかっているように思います。

問題がは「説明しなさい」となっています。「証明しなさい」という問題ではありません。
証明するとなると準備が大変なものになるような気がします。

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに「説明しなさい」と教科書や問題集ではなっています。
前提として1は奇数、2は偶数と認めていると思います。

回答No.2

alice_44

常識的に考えれば、m, n は整数とするのが正解だが、
中学校で、負の偶数、奇数のことを「偶数」「奇数」と
呼んで良いのかどうかは、知らない。
学校数学ってやつは、数学とは異なる場合があるから。

m, n を整数とすれば、(2) の問題は初めから生じない。
m, n が自然数だと、「解答」の証明はちょっとマズイ。
奇数を 2n+3 と置くことは、正当化しようがないが、
2n-1 と置いたとしても、2(m+n)-1 の m+n が 2 以上になる
という問題は残る。

自然数 n によって奇数 2n-1 とする替わりに
非負整数 n によって奇数 2n+1 とすれば、これは解決できる。
2n+1 とするほうが、剰余系の考え方から見て自然でもある。

お礼

ご回答ありがとうございます。
中学校では0が偶数であること、マイナスの数にも偶数・奇数の
概念があることは学んでいるようです。
教科書にはそこまで書いていなかったような・・・
問題集ではm,ｎが普通に自然数として扱われていたことに
違和感を感じていました。

回答No.1

koko_u_u

> (1)m,nをなぜ自然数に限定しているのか。
> m,nは一般に整数ではないのでしょうか？

その通りです。

> (2)もしm,nが自然数と置くのが正しいとしたとき、奇数を2n+3とおいてしまうと
> 3(n=1)から始まる奇数になり一般に自然数全体で証明したことにならないの
> ではないかという疑問があります。

その通りです。

なるべく制限なく、厳密にものごとに当たるのがよいです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
考え方が間違っていないことが確認でき安心しました。