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ビオサバールの法則とベクトルポテンシャル
- ビオサバールの法則とベクトルポテンシャルについて説明します。定常電流の場合、電流のベクトルポテンシャルから磁束密度を導くことができます。また、ビオサバールの法則は体積積分を用いて表されています。H1とH2は異なるベクトル場ですが、マクスウェルの方程式を満たしています。
- 上記の方法で求めたベクトル場H1とH2には、少なくともdiv(H1-H2)=0という関係があります。しかし、H1とH2の違いには意味があるのか、別の条件があるのかは不明です。
- さらに、別の形のベクトルポテンシャルが存在する可能性も考えられます。岩堀長慶、近藤武らによる『微分積分学』には、異なる形のベクトルポテンシャルが記載されています。
- Kokorochaniuna
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磁場をＨ，磁束密度をＢ，Ｂ＝μＨの透磁率μが定数の場合で考えます。 アンペールの法則は、 ∫(rotＨ)・ds＝Ｉ (1) になると思います。ここで∫は、閉じてない曲面Ｓでの面積分で、dsは面素ベクトル，・は内積，ＩはＳを切る電流値です。 一方、ビオサバールの法則は、 Ｈ(r)＝JdL×(r－r')／|r－r'|^3 (2) だと思います。ＪdLは電流素のベクトル，×は外積，rはＨの観測点の位置ベクトル，r'は電流素の位置です。 曲面Ｓを電流素が切らないような場合、(1)より、 ∫(rotＨ)・ds＝0 (3) になるだろうと予想しました。そこで単純に(2)を(3)に代入すれば、0になると思ったのですが、計算違いでなければ、 ∫(rotＨ)・ds＝∫(rot(JdL×(r－r')／|r－r'|^3)・ds＝－∫((JdL・∇)((r－r')／|r－r'|^3)・ds (4) になりました。(4)の最右辺が0になるとは思えません。また、直接ストークスを使い、 ∫(rotＨ)・ds＝∫(JdL×(r－r')／|r－r'|^3)・dc （←線積分） だったとしても、0になるケースのあるのはわかるのですが、Ｓの境界が任意の場合は、どうやったら良いかわかりません。 で、もし最後の線積分が、電流素がＳを切らない場合に必ず0になるなら、(4)の被積分項は直接0になる気がするのですが、どこが違うのでしょうか？。あるいは、条件が足りないのでしょうか？。
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