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集積点の定義について
松坂和夫先生の解析入門３（岩波書店、ラングの本とは別）を読んでいます。 P63に集積点の定義があります。 Xを距離空間とし、AをXの部分集合とする。Xの点aがA－｛a｝の触点であるとき、すなわち、 a∈（A－｛a｝）の閉包 が成り立つとき、aはAの集積点とよばれる。 となっています。 閉包の定義ですが、同書P53に 定義 Aの内点または境界点である点を触点といい、Aの触点全部の集合をAの閉包という。 とあります。 ここからが疑問ですが、 上の定義によれば（A－｛a｝）の閉包というのはA－｛a｝の内点または境界点ということになります。 ところが、aはA－｛a｝の内点ではありません。なぜなら、もしaがA－｛a｝の内点であるとすると、あるr>0に対して、ｒ近傍Ｂは、 Ｂ（a；ｒ）⊂A－｛a｝となりますが、右辺はaを含みませんので成り立ちません。 すると（A－｛a｝）の閉包というのは、境界点のみを含むとなってしまいますが、私の推論は正しいでしょうか。「（A－｛a｝）というのは、境界点のみの集合」とはじめから言えばいいことのように思えるのです。精査よろしくお願いいたします。
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もしかして、聞きたいことは「aはAの集積点⇔aはA-{a}の境界点?」ですか。
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質問が回答1の意味なら、答えはyesです。 理由はあなたが考えてるとおり、A-{a}の閉包はA-{a}の内部と境界の直和であり、aがA-{a}の内点ではありえないこと、です。
お礼
これで気持ちがすっきりしました。どうもありがとうございました。
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集積点の集合（導集合）の問題 固有名詞を出して恐縮ですが、「微分積分学 I、II」（三村征雄、岩波全書）で集積点の所を勉強しています。 同書（I、p74）に於ける集積点の定義は次の通りです。 Aを距離空間Xの部分集合とするとき、１点pの任意のε－近傍V(p、ε)が少なくとも１つpと異なるAの点を含むならば、すなわち、pからεより近いところにpと異なるAの点が存在するならば,pはAの集積点であるといい、Aの集積点全体の集合をA^aで表す。A^aはAの導集合と呼ばれる。 この定義のあとにいくつかの例題があります。 (1) A＝｛1/n｝,n∈N とすれば、A^a＝｛0｝、すなわちこの場合、集積点は0ただ１点である。 (2) R（実数）において、 i）Iを閉区間[a,b] とすれば、I^a＝I （skylark 注：この行の二つのaは互いに無関係です） ii）Iを開区間（a,b）とすれば、I^a＝[a,b] 「これらのことは図によって容易に確かめることができる」書いてあります。実際、図をかいてみるとすぐ分かることなのですが、式でも確かめてみようとしました。 ところが、これがなかなかの苦戦。上の定義から２～３行で証明できると高をくくっていたのですが、うまくいきません。自分が発見できないだけなのでしょうが。簡単に証明する方法がありましたら教えてください。よろしくお願いいたします。 ちなみに、私の解答は次の通りです。 (1) の解答 p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。 (1) p=0 のとき もしε＞1ならば、近傍V(0,ε)はAの元をすべて含むので、ε≦1と考えてよい。逆数をとって 1/ε≧1となる。このとき 1/ε<No となるような或る自然数Noが存在するので ε>1/No d(0,1/No)=1/No<εすなわち1/No∈V(0,ε) ∴p=0はAの集積点。 あとは、 p<0, 0<p<1、1≦pで場合分けをする (1) p<0 のとき d(p,0)=-p>ε>0 であるεをとり、近傍V(p,ε)を考える。 p-ε<ｐ<p+ε<0 となるのでどのようなAの元もV(p,ε)に属さない。よって p<0 はAの集積点ではない。 (2) 0<p<1 のとき 1/p>1だから∃Noがあって No≦1/p<No+1 ゆえに1/（No+1）<p≦1/No そこでmin(d(p,1/No）,d(p,1/(No+1))=εoとし εｏ>ε>0なるεをとると、V(p,ε) はAの元を含まない。よって 0<p<1 はAの集積点ではない (3) 1≦pの場合 (1)とほぼ同様にしてできる。 (2) も(1) と同様の考え方でできる。 ここまで書いてくると、木を見て森を見ず の感が強いのですが、もっとよい手法がありましたらよろしくお願い申し上げます。
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補足
その通りです。質問が回りくどくてすみませんでした。