二次方程式の解の問題

質問

どうしても解けません、助けてください・・・m(_ _)m

　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+

　xについての2次方程式 x^2+ax+a=0 …(1) を考える。
　ただしaは実数とする。
　(1)が1と2の間(ただし、1と2は含まない)にただ1つの解をもつ条件
　を求めよ。

　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+　+

回答No.8

ryumu · ベストアンサー

もう、回答が出てるようですが、まあシンプルに・・・

makihiroさんの書いてる（１）式の左辺をｆ（ｘ）とおきます。
ここで、ｙ＝ｆ（ｘ）の頂点のｘ座標は、微分なり、平方完成なりで、ｘ＝-ａ／２であることが分かります。

１＜ｘ＜２の間にただ一つ解を持つには、

（ａ）「ｆ（１）・ｆ（２）＜０」・・・ｆ（１）とｆ（２）の符号が必ず反転しなければならない。

あるいは、

（ｂ）「ｆ（-ａ/２）=０かつ １＜-ａ/２＜２」・・・重解を １＜ｘ＜２の間に持つ。　

という条件だけで得られます。

（ａ）＜-＞　-４／３＜ａ＜-１／２
（ｂ）＜－＞　「ａ＝０または４、かつ　-４＜ａ＜-２」　＜－＞　解なし

よって答は、-４／３＜ａ＜-１／２　となります。

判別式Ｄを考慮する必要はありません・・・というか、（ａ）と（ｂ）の各条件はすでにＤを考慮したことになってます。

（ａ）では、ｆ（１）・ｆ（２）＜０という式で、すでにＤ＞０という意味になります。
（ｂ）では、ｆ（-ａ/２）=０がＤ＝０ということを示しています。

お礼

簡潔に解説いただき本当によく理解できました。ありがとうございました。

回答No.9

Umada

rei00さん、こんにちは。
いやあ私もお恥ずかしいです、計算間違えていました。
3a+4 > 0なら　a > -4/3
なので、最終的な答えは　-4/3 < a < -1/2
です。
ご覧の通りそそっかしい身ですが、今後ともよろしくお願いします。

お礼

おかげさまで不明点を解決することができました。ありがとうございました。

回答No.7

rei00

#4 で回答した rei00 です。今，Umada さんの回答を見て大変な間違いに気付きました。以下に訂正をしておきます。

「（１）の場合，f(1) >0, f(2) < 0 が成り立ち，-1/2 < a < -3/4 が得られます。」 と書きましたが，-3/4 < -1/2 ですから -1/2 < a < -3/4 を満足する実数 a は存在しません。

「（２）の場合は f(1) < 0, f(2) > 0 が成り立ち，a < -1/2 かつ a > -3/4 が得られます。ただし，これを満足する実数 a は存在しません。」と書きましたが，-3/4 < -1/2 ですから -3/4 < a < -1/2 が求める実数 a の範囲になります。

したがって，「求める実数 a の条件は -1/2 < a < -3/4 です。」も誤りであり，求める実数 a の条件は -3/4 < a < -1/2 です。

-3/4 と -1/2 の大小関係を間違えるとはなんともお恥ずかしい話です。Umada さんの回答を見て気付く事が出来ました。ありがとうございます。

回答No.6

Umada

この種の問題で、左辺をxの関数と見てf(x)と置くのは常套手段ですね。
f(x)は当然2次関数になりますから、放物線を描きます。
その放物線をx-y平面上でいろいろ動かしてみてください。どのような時に題意を満たすでしょうか。
題意の方程式が区間1 < x <2に解をただ一つ持つということは、f(x)と直線y=0とがその区間でただ一点で交わる、ということですよね。

既にご理解頂けている点ではありますが、一応書き下すと題意を満たす関数の形状は
A. f(1) > 0かつ　f(2) < 0
B. その逆の　f(1) < 0かつ　f(2) > 0
C. 解が重根、かつ区間1 < x <2の範囲にある
の3つがあり得ます。
実は放物線の軸が区間に対してどこにあるか悩む必要はなく、上記のAとBの条件で簡単に処理できてしまうんですよ。区間の両端で関数の正負が入れ替わるということは、少なくともその区間で1回x軸と交わる、ということですので*。

またA, Bの場合はその条件だけでx軸と交わることが保証されますから、判別式を別個に検討する必要はないのです。持ち出すのはCの場合のみです。

それぞれについて解いてみます。
(1) 2a+1 > 0　かつ　3a+4 < 0　→両方を満たすaは存在しない
(2) 2a+1 < 0　かつ　3a+4 > 0　→両方を満たすのは -3/4 < a < -1/2
(3) 判別式a^2-4a = 0　→重根となるためにはa=4, 0が必要だが、いずれの解も区間1 < x <2に入らないので題意を満たさない

ということになります。
考え方は間違えていないと思いますが計算を間違えているかも知れませんので、念のためチェックの上ご利用下さい。

*厳密に議論するならば、A, Bの条件だけでは(一般の連続関数に対し)「その区間で少なくとも1回x軸と交わる」ということしか保証されませんが(=複数あるかも知れない)、2次方程式はたかだか2つの解しかありませんのでこれだけで「その区間に解は一つだけ」として解答してよいでしょう。

お礼

詳しく解説いただき誠にありがとうございました。またよろしくお願いいたします。m(_ _)m

回答No.5

noname#1499

ちょっと横手で計算してみましたが、

・条件（1a）のとき

（2a+1)(3a+”４”)＜0　で　”-４/３<a<-１/２ ”
これはa<0をみたすからOK

・条件（1b)のとき
軸の条件は要らないですね。判別式と同じなので。
2a+1＞０かつ3a+1＞０　より　a>-1/2かつa>-1/3　より　a>-1/3
また　-4<a<-2　も満たさねばならないが上の条件と不適ですか

結局、-４/３<a<-１/２　が条件求める条件です。
あ、『ただ1つの解をもつ条件を求めよ。』って書いてある！！！！！
すみません、。条件(1b)は要りません。
どうでしょうか？手計算とあいますか？

お礼

ありがとうございました。おかげさまで解くことができました。

回答No.4

rei00

f(x) = x^2 + ax + a とおくと，二次関数 f(x) は下に凸の関数です。

ここで f(x) = 0 が１と２の間にただ一つの解を持つようなグラフを考えてみて下さい。これには３つの場合があります。f(x) = 0 が２つの解を持ち，１つが 1 < x < 2 にあり，もう１つが 2 < x にある場合（１），１つが x < 1 にあり，もう１つが 1 < x < 2 にある場合（２），そして f(x) = 0 がただ１つの解を 1 < x < 2 に持つ場合（３）です。

（１）の場合，f(1) >0, f(2) < 0 が成り立ち，-1/2 < a < -3/4 が得られます。

（２）の場合は f(1) < 0, f(2) > 0 が成り立ち，a < -1/2 かつ a > -3/4 が得られます。ただし，これを満足する実数 a は存在しません。

（３）の場合は f(x) = [x + (1/2)a]^2 - (1/4)a^2 + a = 0 がただ１つの解を持つ事から，-(1/4)a^2 + a = 0 が成り立つ必要があり，これを解いて a = 0 または a = 4 が得られます。ここで，a = 0 の時，f(x) = x^2 = 0 となり，解は x = 0 で１と２の間に入りません。同様に，a = 4 の場合も，f(x) = x^2 + 4x + 4 = 0 から x = -2 が解となり１と２の間に入りません。したがって，（３）を満足する実数 a は存在しません。

いじょうから，求める実数 a の条件は -1/2 < a < -3/4 です。

いかがでしょうか。合っているとは思いますが，こんな問題を解くのは久し振りですので，正しいかどうかは抑考えて下さい。

お礼

ご丁寧なご解説本当にありがとうございました。おかげさまで解くことができました。

回答No.3

taropoo

まともに数式に立ち向かう前にちょっとイメージしてみる事は
簡単な解答への近道ですよ。

y=x^2+ax+a … (2) というグラフを考えます。
x^2の係数がプラスなので、グラフ(2)は切片、ｙ軸上での傾きがともにaであることを考えると
a>=0のとき解は（あったとしても）ともに0以下となり、条件を満たさない。
よって少なくともa<0となります。
この時グラフ(2)は切片、ｙ軸上での傾きがともに負であるので
式(1)は正と負の２つの実解を持つことになります。
なので、この正の解が1と2の間にあれば良いと言う事になります。

正の解は(-a + √(a^2 - 4a))/2なので
1 < (-a + √(a^2 - 4a))/2 < 2
これを整理すると
-4/3 < a < -1/2
となりませんかね？

お礼

おかげさまで解決できました。ありがとうございました。

回答No.2

noname#1499

なるほど、少々混乱が生じてますね。
まずこの方程式が実数解を持つことから条件を絞っていきましょう。

つまり、判別式Ｄ＝a~2－4a　が
(1)正のとき　　解が二つ
(2)ゼロのとき　解が一つ

(2)のときは　a(a-4)＝0
なので　a=0,4ですね。これをもともとのしきに入れてみてください。
すると、わかるとおり軸が0,2のところにある二次曲線がかけます。
つまりこの条件では駄目なので、(1)の場合に移行します。

で、(1)の時、　a>4、a<0　　です。
これがまず解を持つ条件です。
次に１，２間に解があることを考えます。

（１a）解がこの区間で一つあるとき
（１ｂ）解がこの区間で二つあるとき

（１a）のときは　f(1)f(2)＜０　でよいです。
（１ｂ）のときは　f(1)>0かつf(2)>0さらに軸と頂点の条件
　　　　　　　　　１＜-a/2＜２
　　　　　　　　　a-a~2/4＜０

です。私は計算していないのでちょっとやってみてください。

お礼

クイックリーなご回答ありがとうございました。とてもためになりました。

回答No.1

noname#1499

どういうふうに解こうとしましたか？
判別式を知っていますか？
左辺を関数ｆ（ｘ）とおいたりしてみましたか？

お礼

::補足::
軸は
　a
- -
　2

ですね。マイナスをつけ忘れました

補足

判別式を使いましたがとf(1)<0とf(2)>0の条件を
まず使って求めましたが、
aの取りうる範囲はそれだけではなく、軸が1< a/2 <2の時や
2< a/2 の時もあり、これではaの取りうる範囲という概念が
無くなってしまいます。さすがにこれは解き方を誤っているのでは
ないでしょうか。