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数学II 円と直線
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x^2+y^2=4 にy=2x+k を代入すると x^2+(2x+k)^2=4 x^2+4x^2+4kx+k^2=4 5x^2+4kx+k^2-4=0 という二次方程式になります。これを解くと x=(-4k±√(16k^2-20(k^2-4)))/10 =(-4k±√(80-4k^2))/10 この2解をx1、x2とすると、直線と円の交点のy座標は2x1+k、2x2+kになるので、弦の長さの二乗は (x1-x2)^2+(2x1-2x2)^2=5(x1-x2)^2 で与えられ、その値は8になります。
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- spring135
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NO.2です。 >この回答へのお礼 有難うございます。解答は「8」なのですが・・・ それが気になって、まだこちらの方法では解いてみていません。 何を言っているのかわかりません。問題は 「直線Y=2X+Kが、円X^2+Y^2=4によって切り取られる弦の長さが、2√2のとき、定数Kの値を求めよ。」 弦の長さは2√2と与えられ、Kを求めるのが目的です。 (2√2)^2=8はわかりますか。
お礼
>(2)より >(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=(-4K/5)^2-4(K^2-4)/5=8/5 >K=±√10 (4) >これは(3)を満たす。 >よって(4)が解である。 すみません。 実際に解いてやってみましたが、 上記の意味が自分には難しくて理解できませんでした。 2ルート2 の2乗が 8 ということは判ります。 K=±√10が解 とはどういう事でしょうか?
補足
何度もすみません。 わかりました。 この問題の答が±√10ですね。 無事解けました。ありがとうございます。
- tanukibuta
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弦と直線との距離はいくつですか? √2ですね。 これがわかれば、「点と直線との距離公式」に代入すればいいだけです。
お礼
ありがとうございます。 「弦と直線との距離」の意味がわかりません・・・。 なので点と直線との距離公式への代入もどのようにするのかピンときません。
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
直線Y=2X+Kが、円X^2+Y^2=4を連立してxに関する2次方程式 5x^2+4kx+k^2-4=0 (1) を導き、弦の長さと2つの根の関係を考えます。 交点のx座標をα,βとするとこれは(1)の2根です。 交点は(α、2α+K),(β,2β+K) です。弦の長さ^2は (α-β)^2+(2α-2β)^2=5(α-β)^2=(2√2)^2=8 ゆえに (α-β)^2=8/5 (2) (1)の実根条件は (4K)^2-20(K^2-4)≧0 -2√5≦K≦2√5 (3) (1)より α+β=-4K/5 αβ=(K^2-4)/5 (2)より (α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=(-4K/5)^2-4(K^2-4)/5=8/5 K=±√10 (4) これは(3)を満たす。 よって(4)が解である。
お礼
有難うございます。解答は「8」なのですが・・・ それが気になって、まだこちらの方法では解いてみていません。
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