中学図形の「直角三角形」について

質問

参考書には次のように書かれていました。

次の図で、
ｘ：ｙ＝ｂ＾2：ｃ＾2が成り立つ。
理由：　△ＣＡＨと△ＡＢＨの相似比はｂ：ｃで、面積比はｘ：ｙだから。

相似比がｂ：ｃであることも、面積比がｘ：ｙだということもわかります。

でも、そこからなぜ、ｘ：ｙ＝ｂ＾2：ｃ＾2になるのかがわかりません。

教えてください。

回答No.5

don9don9 · ベストアンサー

相似比は、辺の長さの比です。
面積の比は、辺の長さの比の2乗になります。
体積の比は、辺の長さの比の3乗になります。

これは正方形や立方体で考えるとイメージがしやすいと思いますが
辺の長さが2倍になると縦が2倍、横も2倍になるので、面積は4倍になります。
立体の場合だと縦が2倍、横が2倍、高さも2倍になるので、体積は8倍になります。

△CAHと△ABHが相似で、相似比がb:cなので
△CAHと△ABHの面積比は b^2:c^2 となります。

また、△CAHと△ABHは辺AHが共通しているので
△CAHと△ABHの面積比は、底辺である辺CHと辺BHの比でもあります。
よって△CAHと△ABHの面積比は x:y となります。

この二つを合わせると x:y = b^2:c^2 ということになります。

お礼

もし、私が持っている参考書も、このように丁寧に書かれていればよかったです。
ありがとうございました。

回答No.4

nattocurry

長さが2倍なら、面積は4倍で、体積は8倍。
長さが3倍なら、面積は9倍で、体積は27倍。

一辺の長さが１の正方形の面積は１で、一辺の長さが１の立方体の体積は１
一辺の長さが２の正方形の面積は４で、一辺の長さが２の立方体の体積は８
一辺の長さが３の正方形の面積は９で、一辺の長さが３の立方体の体積は２７

相似比とは長さの比なので、面積比は２乗になり、体積比は３乗になります。

こんなので解ってもらえるでしょうか？

私は自然に理解できたので、教えるのは難しいです。すみません。

お礼

イメージとしては理解できました。ありがとうございました。

回答No.3

tomokoich

△CAHと△ABHは辺の比がb:cになりますね
そうすると対応する辺x:h=b:cよりcx=bh,x=bh/c
また辺h:y=b:cよりyb=hc,y=hc/bになります
よって
x:y=bh/c:hc/b
=b/c:c/b
になりこれはb^2:c^2に等しくなります

お礼

違う角度からの回答、参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

info22_

面積比は
△ＣＡＨ：△ＡＢＨ=(x*h/2)：(y*h/2)=x：y …(1)

一方、面積比は相似比の二乗に比例するから
△ＣＡＨ：△ＡＢＨ=(AC*AC)：(BA*BA)=(b*b)：(c*c) …(2)

(1)と(2)から
x：y=(b*b)：(c*c)
ここで二乗は　b*b=b^2, c*c=c^2　とも書きます。

お礼

今まで面積比は相似比の２乗に比例すると知りませんでした。
ありがとうございました。

回答No.1

nattocurry

相似比がｂ：ｃなら、面積比はｂ＾２：ｃ＾２になるということは解りますか？

ｘ：ｙというのは、相似とは関係ない別の視点から見て、面積比がｘ：ｙとなることを求めています。

それらを＝で結んだだけです。

お礼

相似比と面積比がつながりがあると知ったので勉強になりました。
ありがとうございました。

補足

相似比がｂ：ｃのとき、面積比がｂ＾2：ｃ＾2になることは、今まで知りませんでした。ありがとうございます。

そこで、また質問なのですが、

面積比がｂ＾2：ｃ＾２になる理由も教えていただけないでしょうか？