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正規化相関
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> 数式自身のもっている意味がよくわかりません ああ、わかった。「相関係数」が分からないんですね。 「相関係数」は、統計で使う *代表値* のひとつです。 ふたつの標本値がどれくらい似た傾向を持っているかを あらわす代表値として良く使われます。 式を書くのはかったるいし、テキストだけだとイメージが わかないので、統計で使う「代表値」を解説している ページを探してみました(→参考URL)。 真ん中あたりにある「標本相関係数」の定義をみてください。 この式のXを li に、Yを Mi に読み替えて、式を変形した のが、補足に書いてもらった r(u,v) の式になります。 統計を知らないと、変形が難しいかもしれないので、一部分だけ 解説しておきます。 相関係数の分母の左側、Σ(Xi-XX)^2 の変形を考えます。本当は _ X と書きたいのだけれど、テキストでは書きにくいので、XX と 書いています。これは、X の平均を表していて、以下の定義に なります。 XX = ΣXi ÷ n で、話を戻して、式の変形です。Σ(Xi-XX)^2 で Σ は全体に 2乗も含めてかかっています。より正確に書くと Σ [ (Xi - XX)^2 ] =Σ [ Xi^2 - 2 Xi XX + XX^2 ] =Σ Xi^2 - 2 XX Σ Xi + n XX^2 ここで、Σ XX^2 → n XX^2 です。XX^2 は定数ですから、 シグマを取ると ×n ですね。続けます。 さっき書いた平均の定義をみてください。式を変形すると n XX = Σ Xi になるのが分かるでしょうか。これを先ほどの式の第二項に 適用すると、 Σ Xi^2 - 2 XX Σ Xi + n XX^2 =Σ Xi^2 - 2 XX n XX + n XX^2 =Σ Xi^2 - 2 n XX^2 + n XX^2 で、第二項と第三項が n XX^2 で括れますから、 Σ Xi^2 - 2 n XX^2 + n XX^2 =Σ Xi^2 - n XX^2 です。平均の定義を思い出して XX を Σ Xi で置きかえると、 Σ Xi^2 - n XX^2 =Σ Xi^2 - n (Σ Xi ÷ n)^2 =Σ Xi^2 - (Σ Xi)^2 ÷ n です。同様に、分母の右側、分子を変形して、分母・分子に n をかけると、補足してもらった式になります。
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- a-kuma
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あまり詳しくないのですが、画像処理の話をしてます? たしか、物体の位置検出をするための手法だったはず。 あらかじめ、決まったパターンの画像を用意しておいて、 それと、対象画像との相関係数(*)を求める。 (*) 相関係数は、統計で使われているものと同じ ある画素の位置のパターン画像と対象画像を ペアとみなして、相関係数を求めるはず 相関係数はわかります?
補足
モデルと、画像オフセットでの対応する部分との相関係数rは以下のようになります。 r(u,v)=[NΣIi・Mi-(ΣIi)・(ΣMi)]/[{NΣIi^2-(ΣIi)^2 }・{NΣMi^2-(ΣMi)^2}]^1/2 ここで、 N:ピクセルの総数 Ii:(u+xi,v+yi)での画像ピクセル値 (u,v)は画像オフセット Mi:相対オフセット(xi,yi)での対応するモデルピクセル値 モデルと対象画像が「完全な一致」の場合r=1.0、 「完全な不一致」の場合r=-1.0となるようなんですけど…、 Ii=Miであれば、「完全な一致」し、すべてのピクセル値が同じで Ii=-Mi であれば「完全な不一致」、つまり明暗が完全に反転している。 ということは分かるんですが、 数式自身のもっている意味がよくわかりません。
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お礼
大変参考になりました。 有り難うございました。