• ベストアンサー

ローラン展開について

1/(z^2(z+1)^3)のZ=-1まわりでのローラン展開の計算方法を教えてください。 答えまでお願いします。 まずは、これは部分分数分解した方がいいのでしょうか? ちなみに、留数定理を用いて部分分数展開を行ってみたところ、 (-9/z^2)+(3/(z+1^3))となりました。 それ以降がわかりません。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

z=-1 まわりでのローラン展開だから, (z+1)^? という形を出したい. ということは, この場合部分分数に分解する意味はない. 1/z^2 を z=-1 のまわりでローラン展開すればいいだけで, それそのものは (形式的には) 1/z をローラン展開できればだれでもできる (1/z を z で微分すると -1/z^2). ということで, 1/z を z=-1 のまわりでローラン展開してみよう.

関連するQ&A

  • ローラン展開と分数の分解

    複素関数のローラン展開について学習中の者です。 以下の問題において、分数関数の分解の仕方によってローラン展開の表し方が変わってしまうのですが、どこが間違っているのか助言をお願いします。 問題 f(z) = 3z^2/{(1-2z)(1+z)} を z = 0 のまわりでローラン展開せよ。 1.分数関数の分解を f(z) = z/(1-2z) - z/(1+z) としたとき、1/(1-z)のマクローリン展開などを利用してローラン展開は f(z) = z* Σ(2z)^n - z*Σ(-z)^n   = Σ{2^n + (-1)^(n+1)}z^(n+1)  (|z| <1/2) ...(*) となると思います。(ただしΣはn=0~∞の無限級数を表す) ちなみに出題者の解答はこちらでした。 しかし 2.分数分解として f(z)= 2z^2/(1-2z) + z^2/(1+z) とすることもできます。この場合、ローラン展開は f(z) = z^2{ 2*Σ(2z)^n + Σ(-z)^n }     = Σ{ 2^(n+1) + (-1)^n }z^(n+2) (|z| < 1/2) ....(**) となると思います。 (*)と(**)ではzの項の有無など決定的な違いがあり、同じ級数だとは思えません。 同じ関数を展開したのにどうしてこのような違いが生じてしまうのでしょうか? 何かまずい計算過程でもあるのでしょうか? それともこの二つの級数は実際は同じなのでしょうか? どなたかアドバイスをお願いします。

  • ローラン展開について

    ローラン展開について 解析学の問題をやっています。 f(z)=1/z(z^4-1) for z∈C\N, N={z∈C|z(z^4-1)=0} のとき、fのz=0のまわりのローラン展開を求めたいのですが、 行き詰っています。 解き方を教えて頂けませんでしょうか。お願いします。 0<|z|<1と |z|>1にわけて考えればいいのですよね? 0<|z|<1のときは 1/2z{1/(z^2-1)-1/(z^2+1)}と部分分数分解して、 1/2zはそのままで、 |z^2|<1, |-z^2|<1であることから、 f= -1/2z {?(n=0~∞)z^2n + ?(n=0~∞)(-z^2n)} でよいでしょうか?

  • exp(2z)*(z-1)^-3 をz=1を中心としてローラン展開せよ、という問題がわかりません。

    ローラン展開についての質問です。 exp(2z)*(z-1)^-3 をz=1を中心としてローラン展開せよ、という問題がわかりません。 この問題の解答がexp(2)*(z-1)^(-3)*Σ_{n=0}^{∞}(1/n!)*{z*(z-1)}^nなのですが、計算が合いません。 参考書などを見て、同じようにやっているはずなのですがわかりません。 また、私のところでは留数定理より先にローラン展開を定義しています。 教えて下さい。お願いします。

  • ローラン展開

    ローラン展開の場合分けについて 1/z(z+1)についてz=0を中心にローラン展開せよ。という問題ですが、 答えは、0<|z|<1 と1<|z|に場合分けしてローラン展開してありますが、1<|z|の時って必要なんでしょうか? ローラン展開ってその点のまわりで展開する。っていう意味とは違うんでしょうか?授業ではこの言い回しばかりでやっていたので。なので同じように考えてz=0の周りで展開するので、z≒0より、0<|z|<1の場合のみと思っていたんですが。 もしかして、z=0を中心に・・・、とz=0のまわりで・・・、の意味は違うんでしょうか? もう1つ、ローラン展開の定義は、Σ[k=0→∞]c(z-a)^k+Σ[k=1→∞]b(z-a)^(-k)ですが、実際に解くときって、 (正則でない部分)×(正則な部分のテイラー展開)で求めます。もともとの定義からどう考えれば、実際に解くときの公式?のように考えられるんでしょうか?

  • ローラン展開について教えて下さい。

    ローラン展開はテイラー展開とは異なり、留数や特異点でも式を展開することが可能なものですが、 これの使い方がどうしても分かりません。 もちろん書籍で調べたり、ネットで検索してもどうしても分からなかったので教えて下さい。 http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex-function/20081015/node1.html 級数展開して、それぞれの級数の係数の計算の仕方についてですが、 上記のページの上から4つめの式に表されるように、元の式を(z-c)^{n+1}で割ったものを|z-c|=Rで積分することで求められますが、 このRという定数はどこからやってくるのでしょうか? それとこの積分はf(z)の式によっては解くのが非常に難しい積分になることもあり得ますが、 そういう場合にはどうやって計算するのでしょうか? 具体的な計算を見てみたいのですが、 リンク先である http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex-function/20081015/node2.html では、露わに上記の積分の計算を行わずに、ローラン展開を行っています。 書籍などを見てみても、上記の積分をしている例題が見つかりませんでした。 一体ローラン展開はどうやってやれば良いのでしょうか?

  • 【ローラン展開】

    ローラン展開の質問です。 画像のような関数をz=-2で ローラン展開したいのですが、 上手くできません。 単純な計算なのですが、 解答のやり方も正しいと思う反面、 自分のミスもどうしても見つけることができずに 困っています。 私はz=-2で、1/(z+1)をテイラー展開した後に 1/(z+2)を各項にかける方法で展開しました。 すると、 f(z)=-1/(z+2)-1-(z+2)+(z+2)^2-... となったのですが、この方法は間違っていますでしょうか? この方法(私の答案の方)が使える条件を満たしていない などのご指摘などありましたら教えて頂きたいです。 どなたか数学に詳しい方がおられましたら、 よろしくお願い致します。

  • 1/{z^2*(z^2+1)}のローラン展開

    1 / { z^2*( z^2+1 ) }の(z=0 , 0<|z|<1)におけるローラン展開についてです。 僕はローラン展開の方法を「式を分解して、分母が1次式にして計算する方法」しか知らないのですが、これで合っているのでしょうか。(以下の式のΣの範囲は全て[n=0 ->∞]です。) (与式) = 1/z^2 -i/2 * { 1/ (z-i) - 1/(z+i) }と分解し計算していくと 1/z^2 - 1/2*{ Σ(z/i)^2 + Σ(-z/i)^2 }となり、最終的に 1/z^2 + Σ{ (-1)^(n-1) * z^2n }となりました。 しかし回答には、 Σ{ (-1)^n * z^(2n-1) }とあります。 これって間違っているのでしょうか。

  • 複素関数のローラン展開とその留数について

    以下の関数のローラン展開とその留数についてお尋ねしたいことがあります。 f(z)=(z-3)*sin(1/(z+2))をz=-2周りでローラン展開すると、どのような形になるのでしょうか? sin(1/(z+2))をローラン展開して(z-3)を掛ければ展開した結果はわかると思ったのですが・・・ また留数についてですがこの場合z=-2が真性特異点となり該当する係数を求めればいいと思ったのですが、ローラン展開の結果が上手くそうはならないので疑問に思っています。 解析学にお詳しい方がいらっしゃいましたらアドバイスをいただけますでしょうか よろしくお願い致します。

  • ローラン展開

    coszsinz/(z-π)^2のz=πのまわりのローラン展開についてですがどのようにして、計算すればよいのか教えてください。よろしくお願いします。

  • ローラン展開について

    sinz/z-πのz=π周りでのローラン展開が私がやると答えと符号が逆になってしまいます。どなたか正しいやり方を教えてください。よろしくお願いします。