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クーン・タッカー条件の利用
クーン・タッカー条件を使ってｆ（ｘ、ｙ）=3x^2-6xy+5y^2-8y+5の極小点をもとめよ。また、 制約：4x+y>=10 ：5x-2y>=20 とする。 です！数学の課題です。数学が得意な方協力お願いします。
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まず余談です。 f(x, y) = 3 (x - y)^2 + 2 (y - 2)^2 - 3 と書けますから、制約がなければ f は x = y = 2 の点で最小値 -3 をとります。しかし、上の点は制約の２番目の式を満たさないので、求める点ではありません。 このような場合、求める点はたいてい制約式で表される図形の境界線上にあります。よって、例えば制約式から y を x で表すことができるのであれば、それを f に代入して、一変数 x について f の 振る舞いを調べればよいと思われます。そのようにしてみたところ、f は x = 60/11、y = 40/11 で極小値 135/11 をとるという結果が得られました。この点は２番目の制約式が表す領域の境界線上にあり、１番目の制約式を満たします。 次に、本題ですが、次のように書くことにします。 f(x, y) = 3 x^2 - 6 x y + 5 y^2 - 8 y + 5、 (1) g(x, y) = - 4 x - y + 10 <= 0、 (2) h(x, y) = - 5 x + 2 y + 20 <= 0、 (3) L(x, y) = f(x, y) + λ g(x, y) + μ h(x, y)。 (4) クーン・タッカー条件は、上記の(2),(3)に加えて次のようになると思います。 ∂L/∂x = 6 x - 6 y - 4 λ - 5 μ = 0、 (5) ∂L/∂y = - 6 x + 10 y - 8 - λ + 2 μ = 0、 (6) λ g(x, y) + μ h(x, y) = 0、 (7) λ >= 0、 (8) μ >= 0。 (9) これらを満たす x, y, λ, μ を求めます。しかし、等式は(5),(6),(7)の３個しかありませんから、一般には一意に解を求めることはできません。 実は、私はこれまでクーン・タッカー条件についてはその名前も知らなかったような素人です。それで、ここで困ってしまったのですが、先に書きましたように、今の場合、求める極小値は制約式が表す境界線上にあることが期待されます。そこで、二つある制約条件のひとつだけ考えて、他は無視することにします。 (i) λ = 0 の場合 これは制約条件(2)をとりあえず無視することに相当すると思います。この場合、(5),(6),(7)はそれぞれ 6 x - 6 y - 5 μ = 0、 - 6 x + 10 y - 8 + 2 μ = 0、 - 5 x + 2 y + 20 = 0、 となり、これらから μ = 24/11、 x = 60/11、 y = 40/11、 が得られます。これらは制約条件(2),(9)を満たしています。(2)はとりあえずは無視しましたが、結果的にそれを満たす解が得られたわけです。この点での f の値は f = 135/11 です。 (ii) μ = 0 の場合 これは制約条件(3)をとりあえず無視することに相当すると思います。この場合、(5),(6),(7)はそれぞれ 6 x - 6 y - 4 λ = 0、 - 6 x + 10 y - 8 - λ = 0、 - 4 x - y + 10 = 0 となり、これらから λ = 0、 x = 2、 y = 2 が得られます。しかし、これらは制約条件(3)を満たしませんから、採用できません。 以上より、求める極小値は (x,y) = (60/11,40/11) における f = 135/11 となります。 素人ですので、このような解き方でよいのかどうかわかりません。間違いや不適切な点があれば、お気づきの方に批判していただければ幸いです。
g(x,y)=10-4x-y, h(x,y)=20-5x+2y, L(x,y,a,b)=f(x,y)-ag(x,y)-bh(x,y), ただしa,b≧0, として D1L(x,y,a,b)=0, D2L(x,y,a,b)=0, a=0 if g(x,y)<0, b=0 if h(x,y)<0 を満たす(x,y)を求める（D1は第1変数に関する偏微分記号、D2は第2変数に関する偏微分記号）。 2階条件も調べると良いと思います。
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