二次不等式についての問題です。

質問

課題で出された基本問題なのですが、解法がわかりません。よろしくおねがいします。
1.aとxを実数とする。xについての不等式x^2-(a^2+a-2)+a^3-2a<0を解け。
2.二次不等式2x^2+(4-7a)x+a(3a-2)<0の解がちょうど3個の整数を含むとき、
正の定数aの値の範囲を求めよ。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

1.
x^2-(a^2+a-2)x+a^3-2a<0　の間違いですね。

解法の方針だけ

因数分解して、(x-p)(x-q)<0　になったとしたら、
p<q なら p<x<q
p=q なら 解なし
p>q なら p>x>q

2.も同様に因数分解して、a>0の条件でaを変動させたときの整数解の個数を調べましょう。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
はい、xが抜けてしまっていました。
簡潔な回答ありがとうございました。
無事解けました。

回答No.3

mister_moonlight

不注意だね、我ながらいやになる。。。。ｗ
1と2で、不等式が違うんだ。。。馬鹿みたい、自分が。

(高校1年なら)

2の不等式は因数分解できて、(2x-a)*{x-(3a-2)}＜0となる。
1と同じようにすると、(3a-2)-(a/2)＝(5a-4)/2　から
(1)　5a-4＞0の時、a/2＜x＜3a-2
(2)　5a-4＝0の時、解なし
(3)　5a-4＜0、a＞0の時、a/2＞x＞3a-2

α＜x＜βを満たす整数解が3個の時、(数直線上で考えて)　βとαとの距離(＝間隔)が　2＜β-α≦3　であると良い。
それを(1)と(3)の各々の場合に計算してやると良い。

(高校2年以上なら)

(2x-a)*{x-(3a-2)}＜0と因数分解するところまでは同じ。
a＝yとすると、(y-2x)*{3y-x-2)}＜0となるから、それをxy座標上に図示する。
(y-2x)＞0、(3y-x-2)＜0、or、(y-2x)＜0、(3y-x-2)＞0の2通りがある。但し、境界線上は除く。‥‥(1)
(1)の範囲で、xが整数になる点に黒丸でも打っておく
そこで、a＝y(x軸に平行な直線)を動かしてやる。但し、a＝y＞0に注意する。
そうすると、xの整数解が3個になるaの値の範囲は明らかだろう。

この方法は、視覚的にもミスが防げる方法だ。

お礼

下記に同じです。ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

質問者の学年によって、回答が変わる。

(高校1年なら)

条件の不等式を因数分解すると、(x-a)*{x-(a＾2-2)}＜0であるから、a＾2-2とaとの大小によって解が変わる。
a＾2-2-a＝(a-2)*(a＋1)で　a＞0より
(1)　a＞2　の時、a＜x＜a＾2-2
(2)　a＝2　の時、(x-2)＾2＜0　→　解なし
(3)　0＜a＜2の時、a＞x＞a＾2-2

で、2はこれを利用するんだが、一般に　α＜x＜βを満たす正数解が3個の時、(数直線上で考えて)　βとαとの距離(＝間隔)が　2＜β-α≦3　であると良い。
それを(1)と(3)の各々の場合に計算してやると良い。

(高校2年以上なら)

(x-a)*{x-(a＾2-2)}＜0と因数分解するところまでは同じ。
a＝yとすると、(x-y)*{x-(y＾2-2)}＜0となるから、それをxy座標上に図示する。
(x-y)＞0、{x-(y＾2-2)}＜0、or、(x-y)＜0、{x-(y＾2-2)}＞0の2通りがある。但し、境界線上は除く。‥‥(1)
そこで、a＝y(x軸に平行な直線)を動かしてやる。(1)の範囲で、xが整数になる点に黒丸でも打っておく。
そうすると、xの整数解が3個になるのは明らかだろう。
この方法は、視覚的にもミスが防げる方法だ。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。
一年なので上の方法で解きました。
下の方法も参考にさせてもらいました。
ありがとうございました。

補足

すいません。xが抜けていました。
ｘ^2-(a^2+a-2)x+a^3-2a<0の間違いでした。