波動方程式の解き方
- 波動方程式の解き方について解説します。
- 変数分離法を用いて、波動方程式を解く方法について説明します。
- ヒントとして、偶関数に拡張する方法がありますが、その意味や方法について詳しく説明します。
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波動方程式の解き方
以下の条件をみたす解 u(t,x)を求める問題についてです． 区間(0,L) ，t>0 で u_tt = a^2 u_xx （波動方程式） をみたして 初期条件 u(0,x) = 3cos(2πx/L) , u_t(0,x) = 2cos(πx/L) 境界条件 u_x(t,0) = u_x (t,L) = 0 をみたす解 u(t,x)を求める． （注： a^2 は aの2乗 ，u_tt は uのtについての2回偏微分 ， u_t はuのtについての1回偏微分） 自分は変数分離の方法でコツコツやって（u(0,x) と u_t(0,x) がどちらか一方が0のときに解をもとめてそれぞれを重ね合わせの原理で足して答えをだしました） u(t,x) = (2L/aπ)cos(πx/L)sin(πat/L) + 3cos(2πx/L)cos(2aπt/L) という結果（たぶん正しいはずです）を得たのです． しかし，この問題の ヒント として （ヒント： 周期２Lの偶関数に拡張するとよい． ちなみにcos(2πx/L),cos(πx/L)は２Lの周期をもっている） というヒントが書いてありました． 私にはこのヒントの意味がまったく理解できません． 偶関数に拡張って なにを拡張するのですか？ 勝手に拡張していいものなのですか？ 拡張することによってなにかいいことがあるんですか？ ということを３日間ほど考えていたのですが，どうもわかりませんでした． なにかわかる方がいましたら この偶関数に拡張する方法でu(t,x)を求める方法を教えていただきたいです． よろしくお願いします．
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拡張するのは、u の定義域です。 y = u(t,x) を x=0 と x=L で線対称になるように拡張すると、 微分方程式の解が、自動的に u_x(t,0) = u_x (t,L) = 0 を 満たすようになります。境界条件が、 u(t,-x) = u(t,x) = u(t,2L-x) で置き換えられた訳です。 これは、境界条件を処理する小技なのです。 後でフーリエ変換に持ち込むことを考えれば、 u_x(t,0) = u_x (t,L) = 0 よりも u(t,-x) = u(t,x) = u(t,2L-x) のほうが扱い易いですから。 初期条件の方も、u(0,x) と u_t(0,x) の x∈(0,L) 部分を 同様に拡張しておかなければなりませんが、 u(0,x) = 3cos(2πx/L), u_t(0,x) = 2cos(πx/L) であれば、 最初からその形になっているから、世話がありません。
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お礼
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補足
評価が遅くなってすみませんでした．無事単位が取れました．ありがとうございました．