微分方程式の解き方について困っています
- 独学で微分方程式の勉強をしていますが、問題の解き方が分からず困っています。
- 具体的には、(2y+3xy^2)dx+(2x+4x^2y^2)dy=0の一般解と初期値問題の解き方が分からず、積分因子の導出がうまくいきません。
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微分方程式について
こんにちは。 今、独学で微分方程式の勉強を行っているのですが、問題集に載っていた下記の問題の解き方が分からず困っています。 ・(2y+3xy^2)dx+(2x+4x^2y^2)dy=0の一般解を求める 完全微分方程式ではないので、積分因子を求める必要があり、u=x^mt^nと仮定して求めようとしたのですが、途中で、n-m=4x^2 3n-4ym=-6 という式が出てきてしまい、計算が出来ません。 ・(y^2+2ye^x)dx+(2y+e^x)dy=0,y(0)=1 2変数の初期値問題はどのように解けば良いのでしょうか? 何度も解いてみたのですが、答えを求める事は出来ませんでした。 少しでもアドバイスを頂ければ幸いです。
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(1) (2y+3xy^2)dx+(2x+4x^2y^2)dy=0の一般解 >u=x^mt^nと仮定して求めようとしたのですが ここの置き方は μ=x^m y^n として、後でx,yについての恒等式にした方がいいですよ。 M≡2y+3xy^2, N≡2x+4x^2y^2 μM=2x^m y^(n+1)+3x^(m+1) y^(n+2) μN=2x^(m+1)y^n+4x^(m+2)y^(n+1) ∴(∂/∂y)(μM)=2(n+1)x^m y^n +3(n+2)x^(m+1) y^(n+1) (∂/∂x)(μM)=2(m+1)x^m y^n +4(m+2)x^(m+1) y^(n+2) (∂/∂y)(μM)=(∂/∂x)(μM) として係数を比較すると m=n, n+2=m+2=0 ∴m=n=-2 となるので 積分因子は次式の通りだと分かります。 μ=1/(x^2 y^2) ∴μM=2/(x^2 y) +3/x, μN=2/(xy^2)+4 従って、微分方程式の一般解は 次のようになります。 -2/(x^2 y^2)+3log|x|+4y=C (C:積分定数) (2) (y^2+2ye^x)dx+(2y+e^x)dy=0,y(0)=1 これも積分因子の考え方で求められます。 M≡y^2+2ye^x, N≡2y+e^x ∂M/∂y=2y+2e^x, ∂N/∂x=e^x ∴∂M/∂y-∂N/∂x=2y+e^x この計算で ∂M/∂y-∂N/∂x=N だということに気づきますので、積分因子は次式に通りだと分かります。 μ(x)=exp{∫(∂M/∂y-∂N/∂x)/N dx}=exp(∫dx)=Aexp(x) (A:定数) ここで、A=1 の積分因子 e^x をとると、 μ(x)M=y^2 e^x+2ye^(2x), μ(x)N=2ye^x+e^(2x) となりますので、微分方程式の一般解は次のようになります。 ∴ y^2 e^x+ye^(2x)=C (C:定数) ここで初期値y(0)=1 を考えると 1+1=C ∴C=2 となりますので、次式が解となります。 ∴ y^2 e^x+ye^(2x)=2
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Mr_Holland様 とてもわかりやすい説明を行って頂きありがとうございました。 無事に問題を解くことが出来ました。