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３次元ユークリッド空間
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原理としては、球面に三角形を書いて 内角の和を求めるのです。 空間が平らでないと内角の和が１８０°に なりません。 内角の和が１８０°からどのくらいずれて いるかで、空間の曲がり具合が分かります。 これを曲率というのですが、この曲率を 使えば、縦、横と曲率の３つのパラメータで 球面を表現できます。 ＞ある数学者が 多分リーマンのことですね。
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平面は2つの実数の組として表現できますが、 別に3つの変数を使って3次元空間内の平面で表現してもいいし、 一般に無限次元空間内で表現してもいいですね。 しかし、ガウス-リーマンらは、曲面に内在する性質のみを使って 幾何ができることを示したので、別に外の空間というのは 仮定しなくていいわけです。 変数をむやみに増やすのは理論に不確定な要素を持ち込むことになって あまりいいことはありません。 言いたいのは曲率が0でない値を取るからといって 平面だけ特別扱いするのは変だと思いませんか、ってことです。 平面上の点が2変数で書けるのなら曲面上の点も同様に表現したいと思いませんか、ってことです。 以上が宇宙論と関係してのイントロです。 で、どうやって定義するかですが、一般に球の定義には2種類あって 1.ある点からの距離が一定 こちらは確かに高次元空間を仮定しないと作れません。 2.任意の点で曲率が正で一定 こちらは別に高次元空間を仮定しないでも作れます。 apple-manさんと言ってることは同じです。
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お礼
ありがとうございます。 そういう手がありますね。