三段論法のトリック （Ａ＝Ｂ）は正しい？

質問

質問が長くなります。済みません。お時間ない方は飛ばして下さいね。

三段論法の説明でこんな話がありますよね。

「ソクラテスは人間である」
「人間はみんないつか死ぬ」
導き出される結論は・・・
「ソクラテスはいつか死ぬ」

「つまり、Ａ＝Ｂ、Ｂ＝Ｃ、従い、Ａ＝Ｃというのが論理的な考え方です」

ところが、今朝の電車の中でこんなことを思いました。

「ソクラテスは人間である」とは、果たして「Ａ＝Ｂ」なのか？

そうであるなら、
「Ｂ＝Ａ」

つまり、
「人間はソクラテスである」

という等式が成り立つ筈です。

となると、例えば
「人間はソクラテスである」　　（Ｂ＝Ａ）
「山田花子は人間である」　　　（Ｃ＝Ｂ）
「ソクラテスは山田花子である」（Ａ＝Ｃ）

という論法も成り立つ筈なのですが、山田花子はソクラテスでないことは明白です。

ということは、「ソクラテスは人間である」とは「Ａ＝Ｂ」である、という内容に論理の飛躍があるのでしょうか？

なにかがおかしいのですが、なんだか分りません。お知恵を拝借できませんか？

宜しくお願い致します。

回答No.4

fukuyori · ベストアンサー

ある命題が真である場合、「逆」「裏」「対偶」のうち同様に真であることが保証されるのは対偶のみである、と論理学はいいます。。

　つまり、

原命題→ａならばｂである

が真である時、

逆→ｂならばａである
裏→ａでなければｂでない

は必ずしも真であるとは限らず、ただ

対偶→ｂでなければａでない

だけは真であるといえる、というわけです。

　「ソクラテスは人間である」という命題を、１＋１＝２のように左辺と右辺がまったく等価であるような捉えると、ご質問のように頭がこんがらがってしまいます。「人間」という全体集合の中で、「ソクラテス」は一要素に過ぎないのですから。

原命題→ソクラテス（一要素）は人間（全体集合の中の要素）である

は真ですが、

逆→人間（全体集合の中の全要素）はソクラテス（一要素）である
裏→ソクラテス（一要素）でなければ人間（全体集合の中のいずれかの要素）でない

はどちらも誤りで、

対偶→人間（全体集合の中のいずれかの要素）でないものはソクラテス（一要素）でもあり得ない

のみ、論理的に真であることが導き出されるのです。

　で、もともとの三段論法

「ソクラテスは人間である」
「人間はみんないつか死ぬ」
「ソクラテスはいつか死ぬ」

は、「ａならば必ずｂ」「ｂならば必ずｃ」といずれも真であるため、「ａならば必ずｃ」も真であることが保証されるものです。

お礼

fukuyoriさん、
論理学の概念は、等式でなく、集合と要素で捉えるべし、そのことが皆さんにお寄せ頂いた回答のエッセンスだろうかと愚察致します。

「要素は（必ずしも）集合の全体ではない」
ということは、つまり

「ソクラテスは人間全体をさすものではない」
ということですね。

「天皇は日本人である」という命題が真であっても、「日本人は天皇である」ということは導き出されない、なぜなら、命題は真であるが、「逆」は必ずしも真ではないから、なのですね。

ご回答、有難うございました。

回答No.3

chamma

もうだいたい回答が出ているようですが、補足するならば、三段論法には１）定言的判断、２）仮言的判断、３）選言的判断の３つの種類があり、Globetrotterさんの言う三段論法は２）番に当たるようです。つまり、もしもpならばq、もしqならr、ゆえにもしpならばr。＝ではないですし、「もし」と言う言葉があります。ですから、「もし人間ならばソクラテスである。」と言う前提の判断自体が「山田花子はソクラテスでないことが明白」とおっしゃっておられるように間違っています。三段論法は前提２つの判断と結論としての判断より導き出される推論ですから、前提が間違えば導き出される推論も当然間違ったものになると言うことです。

お礼

chammaさん、
「もし人間ならばソクラテスである」というのは、説明は出来ないまでも、感覚的に間違っているとは感じていました。前提条件が間違っているので、導かれる結論もおかしいのかなぁ、という気がしてました。「もし人間ならばソクラテスである」という仮定を導くその前段で、集合の概念でとらえずに、等式の概念で捉えることに間違った結論を導くトリックがあったように思います。
有難うございました。

回答No.2

TCM

「ソクラテスは集合『人間』の要素である」
「集合『人間』の要素はみんないつか死ぬ」
「ソクラテスはいつか死ぬ」
と理解するといいのではないでしょうか？
　当然、
「集合『人間』はソクラテスの要素である」
わけはないので、ソクラテスは山田花子にはならずめでたし、めでたし。
　論理学は専門外なので間違いがあるかもしれませんので、OKWebの碩学の方々の回答も待ちましょう。

お礼

TCMさん、
「碩学」の意味をまず調べてしまいました。この言葉を知っている方がまさに「碩学」ですね・・・

uemuraさんは「集合」という言葉でご意見をお寄せ頂きましたが、「要素」である、というのはつまり「集合」の構成をなすもの（＝「要素」）、ということですね。

ご回答有難うございました。山田花子がソクラテスじゃなくて、安心しました。

回答No.1

uemura

まず、三段論法で使う式は、等式＝ではない、
ことに気付いてください。
ＡならばＢとは、Ａの集合が、Ｂの集合に含まれる
Ａ⊂Ｂです。
すなわち、
ソクラテスは、人間に含まれる、
人間は、いつか死ぬ物にふくまれる。
よって、ソクラテスは、いつか死ぬものにふくまれる。

けっして、人間は、ソクラテスに含まれる
Ｂ⊂Ａが成り立たないのは明白です。

お礼

uemuraさん、
なるほど、等式と考えるから話がおかしくなるのですね。等式の概念ではなく、集合の概念ですね。納得、納得。
有難うございました。