学校の問題集で分からないところがあったので質問します！

質問

学校の問題集で分からないところがあったので質問します！
集合A,Bを
A={x|f(x)=x}
Ｂ={x|f(f(x))=x}
とする。

(1)
AはBに含まれることを示せ
(2)
f(x)がxの増加関数であるときA=Bを示せ。

よろしくおねがいします！

回答No.1

gohtraw

Ｂはｆ（ｘ）という操作（関数）を二回繰り返したときにｘを与えるわけですが、Ｂを構成する要素を分割してみると、
（１）ｆ（ｘ）＝ｘとなるｘ
（２）ｆ（ｘ）＝ｙ（ｙはｘと異なる）、ｆ（ｙ）＝ｘ　となるｘ
に分けられます。要はｆ（ｘ）の値が一回目でｘになるか、二回目でｘになるかということです。（１）はＡそのものですね。

上記の（２）において、ｙ＞ｘだとします。ｙ＝ｘ＋α（α＞０）と表すとｆ（ｘ）が増加関数であれば
ｆ（ｙ）＝ｆ（ｘ＋α）＝ｘ＋β　（β＞０）
でなくてはならず、Ｂの定義に反します。また、ｙ＜ｘの場合にもｙ＝ｘ－α（α＞０）と表すと
ｆ（ｙ）＝ｆ（ｘ－α）＝ｘ－β　（β＞０）
でなくてはならず、やはりＢの定義に反します。
以上よりｆ（ｘ）がｘの増加関数であるとき上記の（２）を満たす要素はないことになります。