f(x)=｜x^3-3a^2x｜の絶対値を外した
y=x^3-3a^2x
を適当なa>0について描いてみて考えれば
解ります。
f(x)=｜x^3-3a^2x｜はy=x^3-3a^2xの負の部分を正の方に折り返せばよい。
微分して
dy/dx=3x^2-3a^2
よってyはx=a,-aで極値、極大値はx=-aでy=2a^3
従ってy=2a^3となるｘは
y=x^3-3a^2x=2a^3
これは
(x+a)^2(x-2a)=0
となり
x=-aで重根（先ほどの極大値）,x=2aで単根
描いたグラフを見ながら考えると
(1)
1≧2aのとき、すなわち0<a≦1/2のとき
M(a)=f(1)=｜1-3a^2｜=1-3a^2 (1)
1≦2aのとき、すなわちa≧1/2のとき
M(a)=f(a)=2a^3 (2)
(2)
(1)と(2)をグラフに描いてみればわかるように
M(a)はa=1/2のとき最小値1/4をとる。
投稿日時 - 2010-09-06 20:29:17
お礼
詳しく教えてくださりありがとうございます(^O^)
でも、x=±aで極値までは分かるのですが
そのあとからなぜx=－aで極大値になるのか
分かりません(>_<)
投稿日時 - 2010-09-07 17:48:29
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No.1です。
f(x)=｜x^3-3a^2x｜の絶対値を外した
y=x^3-3a^2x
を適当なa>0について描いてみて考えれば
解ります。
f(x)=｜x^3-3a^2x｜はy=x^3-3a^2xの負の部分を正の方に折り返せばよい。
微分して
dy/dx=3x^2-3a^2
よってyはx=a,-aで極値、極大値はx=-aでy=2a^3
y=x^3-3a^2xの変化は以下のとおり
x→-∞でy→-∞
x=-aで極大、極大値y=2a^3
x=aで極小、極小値y=-2a^3
x→∞でy→∞
f(x)は、このyのマイナス側をプラス側に折り返したものなので
f(x)の変化は以下のとおり
x→-∞でf(x)→∞
x=-aで極大、極大値f(x)=2a^3
x=aで極大、極大値f(x)=2a^3
x→∞でf(x)→∞
グラフを描いて考えてください。
投稿日時 - 2010-09-08 10:50:16
お礼
ありがとうございました。
無事に解くことができました。
投稿日時 - 2010-09-08 21:02:07
