ロルの定理を使わずに、高校生が解くにはどうすれば良いか？

この問題の場合、
F(x) = x^4/4 + ax^3/3 + bx^2/2 + cx と置くと、0 < x < 1 の範囲で、
F(x) が微分可能なばかりでなく、F '(x) が連続であることが言える。
この条件は、ロルの定理の成立条件よりも強い。
これを利用して、F '(x) に中間値定理を適用してしまえばいい。
中間値定理を知らない？ 中間値定理については、ゆとり以前の時代から、
高校では、グラフを描いて「直感的に理解」で済ませている。

投稿日時 - 2010-09-01 00:37:09

>実数解が1個か2個か3個か、わからない。その点の証明はどうするのか？

分かっていただけていないようです。ｃを消去したa,bの函数 f(0)・f(1) ≦0が a,b 値に関わらず成立することが証明されれればいいのですから、これをa の函数とみたとき、aの函数f(0)・f(1) =0 の根がなく、且つ任意のa,b の値に対して　f(0)・f(1)が負であればいいことになります。根がないための条件はf(0)・f(1) の aを変数としたときの判別式Ｄ=D(b)≦0 ですから、これが b の値に関係なく成立することを証明すればいいことになります。これもまた同じように判別式で証明することが出来ますが、平方を完成することで簡単に証明できると予想されます。

任意のa,b に対して負であることを示さなければならないのはそれが正であれば f(0)・f(1) ≧0　になってしまうので、そうではないことを示す必要があるのです。これはＤ＜０ですでに常に正か負かのどちらかであることが証明済みですが、一組の a,b を代入した値が負であることを示すことができればそれでいいのです。２つ３つと示す必要は全くありません。

投稿日時 - 2010-08-31 18:36:55

f(x)＝x＾3＋ax＾2＋bx＋c

f'(x)=3x＾2＋2ax＋b
から、極大極小をとるα、βを求めて、
0、１とα、βとの位置関係で場合分けして、
f(0)、f(1)、f(α)、f(β)の符号を調べていけばいいのでは。

例えば、極値をとらない場合は、
判別式＝a＾2－3b≦0
f(0)＝c＝－1/4－a/3－b/2≦－1/4－a/3－a＾2/6＝－{2(a＋1)＾2＋1}/12＜0
f(1)＝1＋a＋b＋c＝3/4＋2a/3＋b/2≧3/4＋2a/3＋a＾2/6＝{2(a＋2)＾2＋1}/12＞0


証明はかなり長くなるかもしれませんが。

投稿日時 - 2010-08-31 16:28:40

> 直感としてはその通りなんですが、それでは証明にはならない。

高校数学なら、充分証明として成り立つと思いますよ。

f(x)は実数係数の３次関数ですから、
f(0)＞0 f(1)＜0 の場合、および　f(0)＜0 f(1)＞0の場合は
0～1間で解を持つのは明らか。

f(0)＞0 f(1)＞0 の場合、0～1間で一度もX軸に交わらないとすると、
0～1間での定積分が正の値になってしまうので、矛盾。
したがって、最低1回は交わる。

f(0)＜0 f(1)＜0 の場合、0～1間で一度もX軸に交わらないとすると、
0～1間での定積分が負の値になってしまうので、矛盾。
したがって、最低1回は交わる。

f(0)=0 または f(1)=0 の場合は言うに及ばず。

投稿日時 - 2010-08-31 15:47:32

0から1までの定積分の答えが0になるのだから、0～1の区間でf(x)とx軸で囲まれた図形に関して、x軸よりも上部の面積とX軸よりも下部の面積が等しい。
f(x)は連続だから、0～1の区間でf(x)は最低1回はx軸と交わっている。

…っていう説明ではダメですかね。

投稿日時 - 2010-08-31 15:15:22