量子力学 同種粒子についての問題
- 2個の同種粒子の軌道波動関数を考える問題において、フェルミオンとボソンの場合の対称性について説明しています。
- フェルミオンの場合、パウリの原理から同じスピン状態になれないことを導出できます。
- フェルミオンとボソンの要請は反対称と対称ということだけであり、パウリの原理はそれから導かれる結果です。
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量子力学 同種粒子について質問です。
量子力学 同種粒子について質問です。 問題 1粒子のとる、異なる2つの軌道波動関数φa(r)とφb(r)が存在するとして、2個の同種粒子が、それぞれφaまたはφbの状態をとるときの2粒子波動関数を考える。フェルミオン2個の場合、ボソン2個の場合のそれぞれに対して、要請される対称性に言及し、可能な波動関数の形をすべて示せ。粒子1の位置をr1、粒子2の位置r2とせよ。各粒子のスピンについては、書くフェルミオンのスピンの大きさは1/2であり、粒子1の上向きスピン状態をα1、下向きスピン状態をβ1、粒子2についてはそれぞれα2,β2とせよ。各ボソンのスピンの大きさは0とせよ。波動関数の規格化はしなくてよい。 上の問題に関して、この問題は「フェルミオンは反対称」「ボソンは対称」ということだけで答えを導くことはできますか？ 例えば2つの粒子が同じ軌道にあるときにフェルミオンの場合はパウリの原理より同じスピン状態になれませんよね？この事実を反対称ということから導出できますか？ フェルミオンとボソンのに対する要請は反対称と対称ということだけだと理解しています。パウリの原理はそれから導かれる結果ですよね？ できれば上の問題に対する解答を考え方とともに教えていただけないでしょうか？
- sa10no
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>16個の波動関数がありますよね？ フェルミオンの方はそうなります。 >16項からなる線形結合を考えないといけないのでしょうか？ 一般的にはそういう形になりますが、式が煩雑になるだけなので、 独立なものを全て列挙すれば十分でしょう。 （独立なものの選び方は１通りではありませんので、答えの書き方も１通りではありません） 例えば、2p軌道の波動関数を全て答えろといわれたとき、 別にC_x p_x + C_y p_y + C_z p_zのような一般的な形を答えてもいいですが、 p_x,p_y,p_z の3つを答える(暗にこれらの線形結合だといっている)方が多くないでしょうか。 ※3つの軌道の選び方はこれでなくてもいいですが。 >その線形結合であるΦ1+Φ2も反対称な波動関数ですよね？ はい。 >これも考慮しないといけないのでしょうか？ 考慮はしなければいけませんが、 Φ1,Φ2,Φ1+Φ2の3つが独立でないのは明らかでしょうから、独立なものを列挙する際には考える必要はありません。 >スレーター行列式を考えてもいいですよね？ >ボソンの場合はスレーター行列式の各項の符号をすべてプラスにしたものを はい。 >スレーター行列式を考える場合2行2列になるので上の例のΦ1+Φ2は含まれないことになります。 全ての2粒子波動関数がスレーター行列式で書ける訳ではありませんので、 Φ1+Φ2が出てこないからといって問題はありません。
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- eatern27
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パウリの排他律とのつながりを考えるのであれば、次のような考え方がいいでしょう。 １．(対称/反対称というのには拘らず)どういう2粒子波動関数があるかを考える。 ２.それらの線型結合で、粒子の交換に関して反対称/対称なものを探す。 ２個の粒子の軌道もスピンも同じ状態である場合に上記と同じことをやると、パウリの排他律が見えてきます。
- eatern27
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対称とか反対称という言葉を使っていらっしゃいますが、 何がどう対称/反対称なのか(どういう操作について対称/反対称なのか)という事はご存知なのでしょうか。
補足
もちろん知ってますよ。
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>１．(対称/反対称というのには拘らず)どういう2粒子波動関数があるかを考える。 それぞれの粒子について軌道が2種類、スピンが2種類なので全部で2^4=16個の波動関数がありますよね？ >２.それらの線型結合で、粒子の交換に関して反対称/対称なものを探す。 ということは16項からなる線形結合を考えないといけないのでしょうか？ それと例えば Φ1(r1,r2,σ1,σ2)=φa(r1)α1φb(r2)α2-φb(r1)α1φb(r2)α2 Φ2(r1,r2,σ1,σ2)=φa(r1)α1φa(r2)β2-φa(r1)β1φa(r2)α2 の２つの波動関数は反対称ですが、その線形結合であるΦ1+Φ2も反対称な波動関数ですよね？これも考慮しないといけないのでしょうか？ それとは別の解法として可能なスレーター行列式を考えてもいいですよね？ボソンの場合はスレーター行列式の各項の符号をすべてプラスにしたものを考えるという方法でもいいですよね？スレーター行列式を考える場合2行2列になるので上の例のΦ1+Φ2は含まれないことになります。どこが間違っているのでしょうか？