三角関数の問題です。

質問

三角関数の問題です。
cos3θ+sin2θ+cosθ>0を満たすθの範囲を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。

という問題です。次の様に解答したのですが、間違いや、つっこまれそうな所があったら指摘して下さると助かります。

cos3θ=4cos^3θ-3cosθより、
cos3θ+sin2θ+cosθ=4cos^3θ-3cosθ+2sinθcosθ+cosθ
=cosθ(4cos^2θ+2sinθ-2)=cosθ{4(1-sin^2θ)+2sinθ-2}
=cosθ(-4sin^2θ+2sinθ+2)=-2cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)>0

∴cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0

(1)cosθ>0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は負
2sinθ+1>0,
sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、0≦θ<π/2,11/6π<θ<2π

2sinθ+1<0,
sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。

(2)cosθ<0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は正
2sinθ+1>0,
sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。

2sinθ+1<0,
sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、7/6π<θ<3/2π

(1),(2)から、求めるθの範囲は、0≦θ<π/2,7/6π<θ<3/2π,11/6π<θ<2π

宜しくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

特にいけないというところはないと思います。＾＾
もうちょっと、「わかりやすく」というか単純にするには、次のような書き方もあります。

・場合分けについて
＞(1)cosθ>0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は負
＞(2)cosθ<0のとき、(2sinθ+1)(sinθ-1)は正
ここは、

(1) cosθ＞ 0、すなわち 0≦θ＜π/2、3π/2＜θ＜2πのとき
2sinθ+ 1＞ 0でなければならない。
よって、・・・

(2) cosθ＜ 0、すなわち π/2＜θ＜3π/2のとき
2sinθ+ 1＜ 0でなければならない。
よって、・・・

「すなわち」で範囲を書いてしまった方が、場合分けが明確になっていいと思います。

・回答には、もう少し言葉を書いた方がいいですね。
＞2sinθ+1>0,
＞sinθ-1<0 のとき、これを満たすθの範囲は、0≦θ<π/2,11/6π<θ<2π
2sinθ+ 1＞ 0ならば、sinθ -1＜ 0でなければならない。
これを満たすθの範囲は・・・

＞2sinθ+1<0,
＞sinθ-1>0 のとき、これを満たすθは存在しない。
2sinθ+ 1＜ 0ならば、sinθ -1＞ 0でなければならない。
ところが -1≦ sinθ≦ 1であるから、これを満たすθは存在しない。
（存在しない理由を明確にしておくと betterですね。）

参考になれば、幸いです。＾＾

お礼

分かりました！
いつも回答してくださって、本当に助かっています＾＾
ありがとうございました！