数列なのかな？

質問

次のような仮想的な物質の変化を考える。ある容器に物質Aと物質Bと物質Cが入っている。一定時間ｔがたつと物質Aはその20%が物質Ｂに、10%が物質Ｃに変化し、残り70%
は物質Aのままである。同様に物質Ｂは20%がAに,10%がCに変化し,70%はBのままであり、物質Ｃは10%がAに,10%がBに変化し,80%はCのままである。以下の問いに答えよ。ただし、時刻Ｔ＝ｎｔ（ｎは整数）における物質Aの量をanグラム、Ｂの量をｂｎグラム、Ｃの量をcｎグラムとし

まとめてＸｎ=(an, bn ,cn) ←縦表示する　とあらわす。

解答は既約分数、有理化をして答える。
① Ｘn+1 と　Ｘnの関係を式で表せ。
② Ｘｎをa0,b0,c0を用いて表せ。
③ lim Ｘｎをa0,b0,coを用いて表せ。
　n→∞

という問題なんですけどよろしくお願いします。

回答No.2

akun · ベストアンサー

①まず，明らかですが，Ｘn+1=(an+1,bn+1,cn+1)と表せることを頭に入れておきます。そこで，
1)物質Ａに関して
　変化によってＡの70％，Ｂの20％，Ｃの10パーセントがあらたにＡになるのですから，
　an+1 = 0.7an + 0.2bn + 0.1cn
と表せます。
2)物質Ｂ，Ｃについても同様に考えれば，
　bn+1 = 0.2an + 0.7bn + 0.1cn
cn+1 = 0.1an + 0.1bn + 0.8cn
と表せることがわかります。
よって，1・2より
Xn+1 =
| an+1 | | 0.7an + 0.2bn + 0.1cn |
| bn+1 | = | 0.2an + 0.7bn + 0.1cn |　
| cn+1 | | 0.1an + 0.1bn + 0.8cn |
となることがわかります。よって，行列を使って表せば，
Xn+1 =
| 0.7 0.2 0.1 |
| 0.2 0.7 0.1 | Xn となります。
| 0.1 0.1 0.8 |

②
| 0.7 0.2 0.1 |
| 0.2 0.7 0.1 | = T とおきます。すると，
| 0.1 0.1 0.8 |
Xn = TXn-1 = T(TXn-2) = ・・・
= TT・・・TTX1 = TT ・・・ TT(TX0)
となり，X0にTがn個かかった形になります。よって，
Xn = T^n X0 (T^n = Tのn乗)
となります。

③さて，このとき，T^nを計算しないといけません。が，とてもじゃないですが，なかなか計算することができません。そこで，これを計算するのに，とても便利な知識があります。簡単に言うと，無限回かけると，全ての行が，固有値1に対する固有ベクトルを，絶対値が1になるようにしたものと同じになります。つまり，
πT=πであり，πの成分の和が1になるようなものを求めれば，それがT^nの全ての行ベクトルとなります。
これは，基本的な計算で求まるので，ここでは省略します。
それでは，頑張ってください。

お礼

お二人ともありがとうございました。長い間待っていてよかったです。

回答No.1

noname#4486

遷移過程を行列Aで表示すると、
[1]
Xn+1 = AXn =
| 0.7an+0.2bn+0.1cn |
| 0.2an+0.7bn+0.1cn |
| 0.1an+0.1bn+0.8cn |.
A =
| 0.7 | 0.2 | 0.1 |
| 0.2 | 0.7 | 0.1 |
| 0.1 | 0.1 | 0.8 |.
[2]
Xn = A^n X0.
[3]
A^nを計算して、n→∞.
要するに行列のｎ乗計算の問題です。物理的にはマルコフ過程と云う奴です。