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数列なのかな?

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お礼率 41% (24/58)

次のような仮想的な物質の変化を考える。ある容器に物質Aと物質Bと物質Cが入っている。一定時間tがたつと物質Aはその20%が物質Bに、10%が物質Cに変化し、残り70%
は物質Aのままである。同様に物質Bは20%がAに,10%がCに変化し,70%はBのままであり、物質Cは10%がAに,10%がBに変化し,80%はCのままである。以下の問いに答えよ。ただし、時刻T=nt(nは整数)における物質Aの量をanグラム、Bの量をbnグラム、Cの量をcnグラムとし
       
まとめてXn=(an, bn ,cn) ←縦表示する とあらわす。

解答は既約分数、有理化をして答える。
① Xn+1 と Xnの関係を式で表せ。
② Xnをa0,b0,c0を用いて表せ。
③ lim Xnをa0,b0,coを用いて表せ。
 n→∞

という問題なんですけどよろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル5

ベストアンサー率 42% (3/7)

①まず,明らかですが,Xn+1=(an+1,bn+1,cn+1)と表せることを頭に入れておきます。そこで,
1)物質Aに関して
 変化によってAの70%,Bの20%,Cの10パーセントがあらたにAになるのですから,
 an+1 = 0.7an + 0.2bn + 0.1cn
と表せます。
2)物質B,Cについても同様に考えれば,
 bn+1 = 0.2an + 0.7bn + 0.1cn
cn+1 = 0.1an + 0.1bn + 0.8cn
と表せることがわかります。
よって,1・2より
Xn+1 =
| an+1 | | 0.7an + 0.2bn + 0.1cn |
| bn+1 | = | 0.2an + 0.7bn + 0.1cn | 
| cn+1 | | 0.1an + 0.1bn + 0.8cn |
となることがわかります。よって,行列を使って表せば,
Xn+1 =
| 0.7 0.2 0.1 |
| 0.2 0.7 0.1 | Xn となります。
| 0.1 0.1 0.8 |


| 0.7 0.2 0.1 |
| 0.2 0.7 0.1 | = T とおきます。すると,
| 0.1 0.1 0.8 |
Xn = TXn-1 = T(TXn-2) = ・・・
= TT・・・TTX1 = TT ・・・ TT(TX0)
となり,X0にTがn個かかった形になります。よって,
Xn = T^n X0 (T^n = Tのn乗)
となります。

③さて,このとき,T^nを計算しないといけません。が,とてもじゃないですが,なかなか計算することができません。そこで,これを計算するのに,とても便利な知識があります。簡単に言うと,無限回かけると,全ての行が,固有値1に対する固有ベクトルを,絶対値が1になるようにしたものと同じになります。つまり,
πT=πであり,πの成分の和が1になるようなものを求めれば,それがT^nの全ての行ベクトルとなります。
これは,基本的な計算で求まるので,ここでは省略します。
それでは,頑張ってください。
お礼コメント
datti

お礼率 41% (24/58)

お二人ともありがとうございました。長い間待っていてよかったです。
投稿日時 - 0000-00-00 00:00:00
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1

遷移過程を行列Aで表示すると、 [1] Xn+1 = AXn = | 0.7an+0.2bn+0.1cn | | 0.2an+0.7bn+0.1cn | | 0.1an+0.1bn+0.8cn |. A = | 0.7 | 0.2 | 0.1 | | 0.2 | 0.7 | 0.1 | | 0.1 | 0.1 | 0.8 |. [2] Xn = A^n X0. [3] ...続きを読む
遷移過程を行列Aで表示すると、
[1]
Xn+1 = AXn =
| 0.7an+0.2bn+0.1cn |
| 0.2an+0.7bn+0.1cn |
| 0.1an+0.1bn+0.8cn |.
A =
| 0.7 | 0.2 | 0.1 |
| 0.2 | 0.7 | 0.1 |
| 0.1 | 0.1 | 0.8 |.
[2]
Xn = A^n X0.
[3]
A^nを計算して、n→∞.
要するに行列のn乗計算の問題です。物理的にはマルコフ過程と云う奴です。


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