tanのｍ倍角の公式を作ってみよ。

質問

tanのｍ倍角の公式を作ってみよ。
tan(ｍθ)=(Σ_(ｊ)aｊ[tanθ]^j)/(Σ_(ｋ)bk[tanθ]^k)
ここで現れたaj，bkと2項係数との関係を調べよ。

難しくて，どうやっていいのか分からないので，詳細に教えてもらえたらと思います。よろしくお願いします。式がわかりにくくてすいません。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

二項係数との関係は…

列ベクトル 転置(Pm(t), Qm(t)) を v[m] と書くと、
漸化式は v[m+1] = (E + tJ) v[m] と表せる。
ただし E, J は２行２列の行列で、
E =
　　1 0
　　0 1,
J =
　　0 1
　　-1 0.
これにより、
v[m] = (E +tJ)^m v[0], v[0] = 転置(1, 0) と解る。

二項係数は、(E +tJ)^m を二項展開するときに現われ、
J^2 = -E であることを使って整理すると、
(E +tJ)^m = Σ[k≦m] (mＣk)(t^k)J^k
= Σ[kが遇] (mＣk){(-1)^(k/2)}(t^k)E + Σ[kが奇] (mＣk){(-1)^((k-1)/2)}(t^k)J。
v[0] を掛けて、成分を比較すれば、
Pm(t) = Σ[kが遇] (mＣk){(-1)^(k/2)}(t^k),
Qm(t) = Σ[kが奇] (mＣk){(-1)^((k+1)/2)}(t^k).

結局、
ai = [i が偶数のとき] (mＣk) (-1)^(i/2),
ai = [i が奇数のとき] 0,
bj = [j が奇数のとき] (mＣk) (-1)^((j+1)/2),
bj = [j が偶数のとき] 0.

回答No.4

pascal3

なんでもすぐに「難しくて、どうやっていいのか分からないので、詳細に教えてもらえたら」なんて書くもんじゃありません。 あなた自信がそんな態度をとりつづけている限り、どんなに詳細に教えても、分からないものは分からないままですよ。

問題文に「m倍角の公式を作ってみよ」とあったら、まずは
「2倍角のときはこう」
「3倍角のときはこう」
というように順番にやってみるのです。 しかもそれを自分の手でやってみるのです。 それをやらずに「詳細に教えてもらえたら」とは…!!!!! あなたはいったい何のつもりなのですか。

回答No.2

alice_44

具体的に m の値が与えられているときには、
チェビシェフ多項式を思い出すか、導くか、本で調べるかして、
No.1 のようにすれば、手軽に tan(mθ) の公式が得られる。

一般の m について公式にしたいなら、むしろ、
tan((m+1)θ) = { tan(mθ) + tanθ } / { 1 - tan(mθ) tanθ }
を使って漸化したほうがよさそう。

Pm(t) = Σ(aj)t^j,
Qm(t) = Σ(bk)t^k
と置いて
Pm+1(t)/Qm+1(t) = { (Pm(t)/Qm(t)) + t } / { 1 - (Pm(t)/Qm(t))・t }
となるようにすればよいから、
右辺の煩分数を整理して、
Pm+1(t) = Pm(t) + t・Qm(t),
Qm+1(t) = Qm(t) - t・Pm(t)
であれば十分。

Pm, Qm の連立漸化式と見てもよいし、
ベクトル (Pm, Qm) の漸化式と見てもよい。

回答No.1

alice_44

m が偶数 m=2n のとき、
tan(mθ) = sin(2nθ) / cos(2nθ) = (sin2θ) Un-1(cos2θ) / Tn(cos2θ).
ただし、Tn は n 次の第一チェビシェフ多項式、
Un-1 は n-1 次の第二チェビシェフ多項式。
http://www14.ocn.ne.jp/~kk62526/pi/Chebyshev.html
cos2θ = { 1 - (tanθ)^2 } / { 1 + (tanθ)^2 },
sin2θ = 2 tanθ / { 1 + (tanθ)^2 } を代入して整理すれば、
求めたい分数式が得られる。

m が偶数 m=2n+1 のとき、
tan(mθ) = { tan(2nθ) + tanθ } / { 1 - tan(2nθ) tanθ } に
上記を代入して整理する。

補足

チェビシェフ多項式みてみたのですが，この問題でどうやって使っていったらいいのか分かりません。
教えてもらえませんか？