教科書に確率の問題で

質問

教科書に確率の問題で
Ａが出る確率は1/2,Ｂがでる確率は1/2だとする。６個ランダムに引いた場合
１）全部Ａの確率
２）最初の４つがＡで残りはＢ
３）半分がＡ
という問題があって
恐らく１）の答えは単純に（1/2)^6だと思うのですが、２）と３）が幾ら考えても分かりません。。
答えが載っていないので、あってるのかすら分かりません。。
どうやってとけばいいのでしょうか。。

後、ポーカーでフルハウスの組み合わせは何かという質問で
答えが１３Ｘ１２Ｘ４Ｃ３Ｘ４Ｃ２だとありました。
１３と１２はなんとなく分かるのですが、何故４Ｃ３と４Ｃ２をかけるのでしょうか？

そして同じような問題で、５つのサイコロを転がした時にフルハウス（三つ同じ数、二つ違う同じ数）になる組み合わせが
６Ｘ５Ｘ５Ｃ２
とありました。
ポーカーでのフルハウスでは二つ”Ｃ”という記号を使っているのに対し、今度は一つしか使われてません。

教科書を何度も読みましたがさっぱり分かりません。。
どなたか分かりやすく説明していただけませんでしょうか？

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#3（#1）です。

混乱させてしまって、すみません。

#3の回答の最後で
＞それぞれの対象が区別できる場合であっても、「グループ分け」であれば組合せを使います。
と書いています。ただ、これもまた混乱してしまいますね・・・。

教科書で、組合せの式 nＣr＝ n！/{ r！*(n-r)！}を導くところをみると、少し見えてくるかと思います。
次のような問題を考えます。
>> 男性 4人、女性 3人を一列に並べることを考えます。
>> (1) 7人の並び方は何とおりあるか？（順列）
>> (2) 男性と女性の並び方は何とおりあるか？（組合せ）

(1)は、男性でもそれぞれの男性は区別されますし、女性も同様です。
よって、7！とおりとなります。

(2)は、「男男女女男女男」といった並び方だけを考えることになります。
このとき、それぞれの男性・女性は区別されません。

上の並び方をもう少し詳しく見ると、次のようないろいろな並び方があることがわかります。
男1 男2 女1 女2 男3 女3 男4
男3 男2 女2 女3 男4 女1 男1
男2 男3 女1 女2 男1 女3 男4
・・・
順列としてみると、これらは異なる並びです。
ところが、組合せとしてみたときには「男男女女男女男」で同じです。
つまり、重複して勘定していることになります。

この並びでの男性だけの並び方は、4！とおり。
同様に、女性だけの並び方は、3！とおり。となり、それぞれこの分だけ重複しています。
ですので、全体の組合せの数は
7！÷(4！*3！)＝ 7Ｃ4＝ 7Ｃ3とおり

となります。

考え方としては、順列だけでも考えることができるということです。
そして、組合せの場合には「重複」の分も考えるようにすればよいということになります。
「重複を割る」というところがポイントですね。

お礼

回答又ありがとうございます。

なるほど！
男男で男を区別して考えると
男１男２、男２男１は二通りになりますが、区別しないため、男１男２＝男２男１として一通りということですね。
区別されるのは、その男がどこに位置するかとういことでしょうか。
男女男と男男女は区別されて男１男２女と男２男１女は区別されない。
んー。。　
なんだか区別する、しないの定義が、都合のいいようになってるような気がしますが、
色々考えて
９個の白いボールと、１個の黒いボールがあって、黒いボールを引く確率は1/10なんだけど
結果の組み合わせだけ見たら、黒いボールを引くか、引かないかの二通りしかなくて1/2だという理屈に帰依すると思います。
絶対後者の理屈は間違ってるけど、どこが破綻しているのかまだ未だによく分かりません。。
でも、もう割り切って、確率を計算する時、男、女自体は区別されないが、並び方は区別されると覚えることにします。

補足

すみません。
もう一度よく考えたんですが、

例えば、Ａと書かれた文字が５つあるとします。
その中から４つ選ぶ組み合わせは？という問いに
もし全部の文字が区別できたら5C4=5となりますが、
区別出来ない場合、ＡＡＡＡの一通りしかありません。
じゃぁ例えばＡの文字が９９個あってＢの文字が１個しかなかった場合に
ＡＡＡＡとなる確率は
もしＡが区別出来たなら
99C4となり
Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４
Ａ５Ａ６Ａ７Ａ８
は区別されてカウントされます。
が、しかしその文字自体は区別されないわけですから
やはり一通りしかないことになります。
並び方にしても
ＡＡＡＡは一通りしかありません。
逆に
Ａ３つＢ一つの組み合わせは
ＡＡＡＢ
ＡＡＢＡ
ＡＢＡＡ
ＢＡＡＡ
となり、４通りあります。
ということは、Ａ３つＢ一つのほうが確率が高いことになってしまいます。
でも実際９９個はＡなわけですから、
直感的にもＡＡＡＡとなる確率のほうが多い気がします。
ということは恐らくその確率は
P(AAAA)=99C4/100C4
P(3A1B)=99C3*1C1/100C4
でP(AAAA)>P(3A1B)となり、理屈にもあっているような気がします。
ということは、やはり
男１男２と男２男１は区別されなければならないんではないでしょうか？

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞もしカードにスペード、ハートなどといった区別出来るものが無かった場合どうなるんでしょうか？
#2さんが解説されているように、マークの区別がなければ 13* 12とおりとなりますね。

少し気持ち悪いのは、もしかすると次のようなところからかもしれません。
（わたし自身も、ちょっと気持ち悪い感じがしたので）

★「区別がない」場合の答えを考えると、これは
「3枚になる数は 13とおり、2枚となる数は 12とおり」
となっていることはわかると思います。
もう少し大雑把な言い方をすると、「並べた結果」から考えているようなイメージになっています。

★ところが「区別がある」ときの勘定の仕方を見てみると、
・まず 3枚となる数を選んで、その数の 4枚から 3枚を選ぶ組合せを勘定します。
・次に、2枚となる数を選んで、その数の 4枚から 3枚を選ぶ組合せを勘定します。
と、どちらかといえば「順番に選び出す」ようなイメージになっています。

「並べてからみる」イメージと「選び出していく」イメージの両方の見方があり、どちらも間違っているわけではない。
というところで、気持ち悪さがあるのかもしれません。

＞順列と組み合わせが自分の中でかなりごちゃ混ぜになっていて
＞もし、例えば順番が決まっていて、最初の３枚が同じ数、
＞次の２枚が最初の数じゃない同じ数　の組み合わせを求めろ
＞という問題だったらどうなるんでしょうか？
たしかに、「一列に並べる」という問題でも組合せを使わないといけない場合があるので、混乱しますね。
ひとつ見分けるポイントを挙げると、
順列は並べるそれぞれの対象（人だったり、トランプのカードだったり）は「区別ができます。」
ところが、組合せの場合にはそれぞれの対象は区別ができません。

組合せは「グループ分け」について考えるものです。
「３）Ａが半分」のように一列に並ぶ問題であっても、「同じＡが入る場所」を選び出すときには組合せを使います。

あと、それぞれの対象が区別できる場合であっても、「グループ分け」であれば組合せを使います。
たとえば、トランプの同じ数 4枚から 3枚を選び出すときは、「選ばれるか、選ばれないか」のグループ分けだけですから、組合せを使っています。

日本語の難しさなのか、言葉で表現するのは難しいですね・・・＾＾；

お礼

又の回答ありがとうございます。
んー。。。難しいですね。。。

色々考えていくうちに、どんどん分からなくなってきてしまいました；；
ＡとＢの問題をちょっと簡略化して
コインが４枚あって、表裏の確率が1/2の場合
コインが二枚表の確率は？という問題があったとして、
naniwacchi様の仰ったとおり4C2/2^4ですよね？
でも、ポーカーの区別つく、つかないの論理で行くとコインは区別がつかないため、
１枚目表２枚目表３枚目裏４枚目裏＝１枚目表２枚目裏３枚目表４枚目裏
というように順番は関係なくなり4C2はつかえないんじゃないでしょうか？；；

コインを全部投げた結果は
（４枚表、３枚表１枚裏、２枚表２枚裏、１枚表３枚裏、４枚裏）
と５パターンあります。
そして、２枚表２枚裏はそのチョイスの中の一つの選択肢ですから
1/5となるんではないでしょうか？

もうわけがわかりません。。。

回答No.2

nag0720

＞もしカードにスペード、ハートなどといった区別出来るものが無かった場合どうなるんでしょうか？

１３Ｘ１Ｘ１２Ｘ１
で合ってます。

最初の質問のポーカーのフルハウスの答えの「１３Ｘ１２Ｘ４Ｃ３Ｘ４Ｃ２」は、組み合わせの数でいいんですが、
サイコロのフルハウスの答えの「６Ｘ５Ｘ５Ｃ２」は、組み合わせの数ではなく順列の数です。

組み合わせの数の場合は、「６Ｘ５」だけになります。
５Ｃ２は、二つの同じ数が何回目に出るかということですから、
Ｘ５Ｃ２で順列の数になります。

お礼

回答ありがとうございます。

多分相当頭の悪いので、理解するのに時間がかかるのですが、
そもそも５Ｃ２というのは、一体どういう意味なんでしょうか？；；
イメージ的にはＣを使うのは区別しない時、順列の！を使うのは区別する時というように習ったと思うんですが、
何故サイコロの場合はどのサイコロも区別できないのに、順列になるんでしょうか。。

回答No.1

naniwacchi

おはようございます。

確率を求めるときに、「全部の組合せ」を分母におきますね。
この分母をどのように考えているかが、ひとつポイントになります。

１）全部Ａの確率
全部の組合せを 2^6とおりとして、全部が Aとなるのは 1とおり。
よって、1/2^6＝ 1/64と計算しますね。
（ＡＡＡＡＡＡという並び方しかない）

２）最初の４つがＡで残りはＢ
これも全部の組み合わせは 2^6とおりです。
このとき、問題の並び方はやはり 1とおり（ＡＡＡＡＢＢ）しかないですね。
ですので、これも 1/64となります。

３）半分がＡ
全部の組み合わせは、 2^6とおり。
この 2^6とおりには、
ＡＡＡＢＢＢ
ＡＡＢＢＡＢ
ＢＡＡＡＢＢ
・・・
などといった並び方が勘定されています。
すると、題意を満たす並び方は「Ａ 3つとＢ 3つを一列に並べるときの並べ方は？」という問題と同じになります。
6つのうち、 3つにＡを入れればＢは自動的に残りと決まるので、6Ｃ3とおりですね。

★フルハウスの組合せ
式を少し変形した方がわかりよいかと思います。
(13* 4Ｃ3)* (12* 4Ｃ2)

・(13* 4Ｃ3)
13は 1～13の数のどれかという意味になります。
次に、数が決まったらその数のカードを 3枚選び出すことを考えます。
マーク（スート）はスペード、クラブ、ハート、ダイヤの 4つですから、それから 3つを選ぶということで 4Ｃ3とおりとなります。

・(12* 4Ｃ2)
上で 1つ数が選ばれているので、残り 12からまた数を 1つ選びます。
今度はその数のカード 4枚から 2枚を選ぶことになるので、4Ｃ2とおりとなります。

サイコロの場合には、マークという区別がないので計算に Ｃが出てこなくなります。

お礼

回答ありがとうございます。

分かりやすい解説のおかげで、ＡとＢの問題は多分分かったと思います。
ただポーカーの問題についてなんですが、まだ少し分からないところがあって
というのも、もしカードにスペード、ハートなどといった区別出来るものが無かった場合どうなるんでしょうか？
最初の３枚は１～１３の数から選べるので恐らく１３をかけて、次の２枚は最初の３枚と違う数を選ばなければならないので、１２の選択肢があるため、１３Ｘ１２は入ると思います。
ですが、最初のその数のカードを３枚選ぶには、一通りしかないため、１を掛けて
最終的な組み合わせは
１３Ｘ１Ｘ１２Ｘ１ということになるということですか？？

後順列と組み合わせが自分の中でかなりごちゃ混ぜになっていて
もし、例えば順番が決まっていて、最初の３枚が同じ数、次の２枚が最初の数じゃない同じ数　の組み合わせを求めろという問題だったらどうなるんでしょうか？