指数・対数の不等式について

質問

ずいぶん考えたのですが、分からないので教えて下さい。
次の問題です。

次の不等式を解け
１＜２の－２log１／２底のＸ乗＜１６

これの正解は１＜Ｘ＜４なのですが、私が解いていくと、
１＜Ｘ，４＜Ｘになって結果４＜Ｘになってしまいます（泣）
どなたか途中の正確な過程を教えていただければ幸いです。

よろしくお願いします。

回答No.1

glair · ベストアンサー

なぜか誰も回答を書いていないようなので…書かせていただきます.専門家でないのでもし間違ってたらごめんなさい

記法を次のように決めるとします.
x^y:xのy乗
log(x)y:xを底とするlog y

問題は次のよう.
1< 2^(-2log(1/2)X) <16

各項に関して、2を底とするlogを取る、
log(2)1 < (-2log(1/2)X)log(2)2<log(2)16

各項を整理すると
0<-2(log(1/2)X)<4

各項に(-1/2)をかける（負をかけるので不等号の向きはここで逆になる）
0>log(1/2)X>-2

各項に関して、(1/2)の累乗を作る(1より小さい数の累乗なので不等号の向きはここで逆になる）
(1/2)^0<X <(1/2)^(-2)

各項を整理する
1<x< 4

専門の人のフォローを待ちます.

お礼

ご回答ありがとうございました！
とても詳しい説明でわかりやすかったです。
私ももっと対数の勉強をしなくてはいけませんネ・・・（笑）

回答No.2

seian

glairさん> 各項に(-1/2)をかける（負をかけるので不等号の向きはここで逆になる）
glairさん> 0>log(1/2)X>-2

ここで底の変換をした方が分かりやすい?
底を２に変換すると

0 > log(2)X/{log(2)1/2} > -2
0 > - log(2)X > -2
0 < log(2)X < 2
1 < X < 4

お礼

回答ありがとうございました。
底の変換を使うんですね。全然思いつきませんでした（笑）