様々な補間法について。

質問

様々な補間法について。

補間に関する情報を色々読みましたが、きちんと理解出来ているか不安なので、質問させて下さい。

まず、ラグランジュの補間法というのはいくつかある点の中から、ある2点を取り、その２点間を直線で近似するという考えで合ってますでしょうか。

次にスプライン補完はいくつかの点を３次式で近似しているという考えでよいでしょうか。

最後に質問ですが、xy平面で、どちらかひとつの座標だけが変化してるような２点間を補完するのに最も適した手法は何でしょうか。

数学の知識が乏しいので、頭のいい方から見たらバカみたいな質問かもしれませんが、回答お願いします。

回答No.1

Kules

どちらかというと逆のイメージだと思います。
ラグランジュの補間は、全部のデータ点の組み合わせ((x0,y0)、(x1,y1,)、…、(xn,yn))を
１つの関数で表現してしまおうというものです。たとえばデータ点の組み合わせが10点ならば、
理論的には全ての点を通る９次関数を作ることができるはずです。ただし、むりやり全部の点を通るように
するため、各点の間の曲線が「それは嘘やろ」みたいな形になることもしばしばです。そのため、
例えば次数を下げて、「完全には点を通ってないけど何となく形は正しいっぽい」という近似曲線を書いたりします(これは補間というより近似です。よく使うところでいうと最小二乗近似でしょうか)

スプライン補間は、各２点間を多項式で表現します。そして、境界面で滑らかに繋がるように係数を調整します。
具体的に(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)の３点を３次のスプライン補間をすることを考えます。
y=ax^3+bx^2+cx+d(x1≦x≦x2)…式(1)
y=ex^3+fx^2+gx+h(x2≦x≦x3)…式(2)
のa～hを決めることとなります。
式(1)がx=x1の時y=y1、x=x2の時y=y2を満たさなければならないのは明らかです。(式(2)においても同様です)
が、それだけでは係数が決まりませんし、式(1)と式(2)を使って曲線を描いた時、x=x2のところがとがってしまうなど、不自然な形になることがあります。そのため、
そこで、
x=x2での1次導関数が連続(x=x2での接線の方程式は、式(1)から作っても式(2)から作っても同じになる)
x=x2での2次導関数が連続(x=x2近辺での接線の傾き具合の変化は、式(1)のものも式(2)のものも同じ)
という条件も付け加えて、x=x2での２つの曲線が滑らかに繋がるようにします。

＞最後に質問ですが、xy平面で、どちらかひとつの座標だけが変化してるような２点間を補完するのに最も適した手法は何でしょうか。

これは例えば(1,3)と(1,5)のような２点間を補完するということでよろしいでしょうか？
上に書いたように、ラグランジュの補間もスプラインの補間も、その２点以外の周りの状況も重要になるのでそれだけでは何とも言えませんが、単にその２点間を補完したいのなら線形補間(単純に、２点を直線で結ぶ)でよいと思います。

私自身補間についての知識はだいぶふわふわっとしたものなので伝わるか自信はないですが、イメージとしてはだいたいこんな感じです。
長文失礼しました。参考になれば幸いです。