• ベストアンサー

ラプラス・ポアソンの方程式(?φ=0、?φ=ρ/ε0)について、領域の

ラプラス・ポアソンの方程式(?φ=0、?φ=ρ/ε0)について、領域の境界面上で電位が適当な境界条件を満たせば、領域内の解は唯一に定まることを証明したいのですが、切り口が全く分かりません。誰かアドバイスを頂けないでしょうか?ちなみに、静電気学における方程式です。よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • inara
  • ベストアンサー率72% (293/404)
回答No.2

その他の回答 (1)

  • post_iso
  • ベストアンサー率48% (14/29)
回答No.1

2階の常微分方程式であれば、2つの初期条件により特解が求まります。 これは、数値解法において解が一意に決まることから納得できると思います。 2階の偏微分方程式でも同じです。 必要な初期条件を与えてやれば、数値解法により、解が一意に決まるためです。

kuma19880902
質問者

お礼

ありがとうございます。

関連するQ&A

  • ラプラス・ポアソン方程式について

    電磁気学における、ラプラス方程式とポアソン方程式の役目(役割)とは一体何なのでしょうか? ※ポアソンは電位を求めるということが何となく分かりました。 ご教授宜しくお願いします。

  • ラプラス方程式に関して

    こんにちわ. ラプラス方程式に関して,分からないことがあるため,質問させてください. 電磁気学でのラプラス方程式は電荷分布がない空間内において,境界条件を決めることで,その空間内での電位分布を計算することが出来ると思います. このラプラス方程式は電気回路でも成立するのでしょうか? たとえば,抵抗が格子状に無限に接続された電気回路において,任意の2点間に電位差Vが与えられているとします. このとき,その周囲の格子点での電位はラプラス方程式から求められるのでしょうか? ご存知の方もおられると思いますが,これは無限抵抗格子の電位差を求める問題の解法の冒頭にある記述です. ここでは問題を解く前提として,格子点の電位はラプラス方程式を満たすという説明がありますが,ラプラス方程式を電気回路に適用しているテキストなどが見受けられなく,電磁気学でのラプラス方程式がどのようにして電気回路に適当されるかがよくわかりません. 詳しい方がおられましたら,教えてください.

  • ラプラス方程式の解析解

    電磁気学を勉強しているのですが,分からないことがあるので質問させてもらいます. 静電場内にある電荷が作る電位分布を示す方程式としてラプラス方程式(∇^2*V=0)があると思います. ラプラス方程式とポアソン方程式の違いまでは理解できていると思います. 2次元のラプラス方程式は以下の式を変数分離法を用いて解くことで,直交座標系や球面座標系として考えることで,解析解が得られると理解しています. (ここまではたどり着くことが出来ました) (∂^2/∂^2x)V(x,y)+(∂^2/∂^2y)V(x,y)=0 分からないのは,ここから実際の電位分布を求める方法です. 具体的には,xy平面上の原点にポテンシャルV0がある場合,このV0による電位分布を求めることが出来ません. 直交座標系で考えると一般解は,A,B,C,D,kを定数として,次のようになると思います. V(x,y)=(A*exp(kx)+B*exp(-kx))*(Csinky+Dcosky) 境界条件から未知定数を求めたいのですが,うまくいきません・・・. 原点にポテンシャルがあるので,x→∞でV→0,y→∞でV→0,x=0,y=0でV=V0が境界条件になると思ったのですが,y→∞で(Csinky+Dcosky)は0に収束しません. 境界条件の設定が間違っているのでしょうか? 数値解では原点にポテンシャルを設定している解説は見つけられたのですが,解析解では資料がなく,どうすればいいか困っています. すみませんが,教えてください.

  • ラプラスの方程式

    点電荷による電位Vがラプラスの方程式を満たすことを証明したいのですがどうすればいいでしょうか? r=√(x^2+y^2+z^2)

  • ラプラスの方程式

    ラプラスの方程式  (∂^2*u/∂*x^2) + (∂^2*u/∂*y^2)=0 (0≦x≦1,0≦y≦1) を次の境界条件のもとで解け。 u(x,0)=u(x,1)=0 (0≦x≦1) u(0,y)=y,u(1,y)=0 (0≦y≦1) の方程式を解け。 おそらくフーリエ解析を使って解くのでしょうが、ラプラス方程式なのでラプラス変換を用いれば解けるのでしょうが・・・ ちょっと判らなくなりました。 ご教授お願いします。

  • ラプラス方程式の境界値問題

    ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2 = 0  in Ω ∇u・n = 0  on Ωの境界 ( nは境界の外向き法線ベクトルです) Ωを3次元空間内の有界領域としたときに、上のラプラス方程式の境界値問題の解はなぜ1つではないんでしょうか? すいませんが教えてくれませんか?

  • ラプラス方程式の解法(情報処理として)と共役勾配法

    情報処理の数学はカテゴリ違いかもしれませんが、適当なところを見出せませんでしたので。 (以下、長文で申し訳ありません。) ラプラス方程式やポアソン方程式の境界値問題を解く方法にSOR法が あります。これは連立一次方程式の反復解法の1つだとも言えると思い ます。連立一次方程式の解法は通常AX=BとなってマトリックスAと既知 ベクトルBに対して未知ベクトルXを解くわけですが、ラプラス方程式 をSOR法で解く場合、AX=Bという形にはしません(そういう風に表現 はできますが)。例えば2次元を考えると100×100の2次元の領域を解く 場合、未知数は10000個です。これをAX=Bという風に考えたら、10000元 連立一次方程式を解くことになり、A(10000,10000)のようにメモリ確保 も大変ですが、実際にはそのように解きませんね。マトリックスAとい うメモリの取り方をしないのです。 100×100の格子領域でSOR法で解くとプログラムステップとしては数十 行ぐらいとなり、大したことはありませんね。 しかし、情報処理の連立一次方程式の解法の本を見ると、それはあくま でも連立1次方程式があった場合ということを前提としているのでその ようなメモリの確保から解説がスタートするようです。 そこで質問ですが、ラプラスやポアソン方程式を(前処理付)共役勾配 法などで解く場合、メモリ確保の前提条件としては連立一次方程式の形 ではないはずです。本を見るとマトリックス解法としての共役勾配法が 出ていますが、ラプラス方程式、ポアソン方程式の特化して解説してい る本などないでしょうか。また、簡単に説明できるのであれば教えて頂 きたいのですが。

  • ラプラス方程式と電気力線

    ラプラス方程式と電気力線 昔、電磁気学で金属表面から出る電気力線は 金属表面に対して垂直なものしか存在できない、と習ったと思うのですが、 これってラプラス方程式でしたっけ? http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F この方程式からなぜそのような境界条件が得られるのでしょうか?

  • ポアソン方程式について

    電子系の学部に在籍している学生です。 p型半導体、n型半導体においてのポアソン方程式を 習ったのですが、 釈然としないことがあるので、教えて下さい。 最初の時点で、p型なら、(電位の二階微分)=qNa/εという式 n型なら、(電位の二階微分)=qNd/εという式が有りますよね? 計算を解いていくと、(電位の一階微分)=電界 つまり、単純に考えると(qNd/ε)xが単位面積あたりの電気力線の本数である。 ということですよね? では、qNd/εとは何なのでしょうか。 次元で考えると、クーロン×ドナー密度/εなので C×(1/立方センチメートル)/ε、 やはり密度のようになってしまいそうですが。。 流れで考えると電気力線の密度の増減を示す数字だと思いますが、 やっぱり納得できません。

  • ポアソン方程式について

    Ω⊂R^2を有界領域とし、以下のポアソン方程式を考えます。 Δu=f (x∈Ω)--------* ここでG(x)=1/2π・log|x|は基本解です。 ----------------------------------------------------------- このとき、以下の定理が成り立ちます。 「fはR^2でヘルダー連続でsuppfは有界ならば U(x)=∫[R^2]G(x-y)f(y)dyはR^2でC^2級で、Δu=f (x∈R^2)である」 この定理の証明はできたのですが、 「この定理はそもそも何故成り立つのか」 というのを基本解などの性質などから簡潔に説明せよという課題が出ました。 抽象的でよく分からずにいます。 この定理はそもそもどのような根拠から成り立つのでしょうか。 そして、なぜこの定理なのでしょうか。 よろしければどなたか解説をお願い致します><