- ベストアンサー
無限級数 Σ １/4 cos 1/2 nπ
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
こんばんは とりあえず、こういう問題でつまづいたら、 １から代入してみる！ というのが常套手段でね♪ ４＾（－ｎ）×ｃｏｓ（１／２ ｎπ） これだよね。 自然数で、ｎを無限まで飛ばすということだよね。 ｎ＝１；１／４×ｃｏｓ （１／２ π） ＝０ （ｃｏｓのところが０ですね） ｎ＝２；１／１６ × ｃｏｓ π ＝－１／１６ 奇数のところはゼロになりますね。ｃｏｓが０ですから。 偶数のところで、ｃｏｓは＋１か－１かでしかでてこないね。 これだけ分かれば次にでてくるのは、 １／２５６ が出てくるのは見えるかな？ 級数になっているのは分かると思いますよ。 奇数のところは、後から引いてもいいけどね。 落ち着いてゆっくりとこう。 ｍ（＿ ＿）ｍ ちゃんとやったらでてきますから。大丈夫だよ
その他の回答 (3)
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
数学なんてのは答えが出なきゃだめ、答えを出すことのみに意味がある という観点から答えを書きましょう C=Σ(n=1→∞)1/4^n cos(nπ/2) ここで S=Σ(n=1→∞)1/4^n sin(nπ/2) とおく。 Z=C+iS(iは虚数単位) を作るとオイラーの定理cosx+isinx=e^(ix)より Z=Σ(n=1→∞)1/4^n e^(inπ/2) =Σ(n=1→∞)( e^(iπ/2)/4)^n これは項比がr=e^(iπ/2)/4=i/4の等比級数の和で項比の絶対値が1より小さく、絶対収束する。 級数の和は Z=(n=1→∞)r(1-r^n)/(1-r)=r/(1-r) =i/4/(1-i/4)=(-1/4+i)*4/17 ほしいのはこの実数部すなわち -1/17 わかるかな。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
おはようございます。 見た目、悩んでしまうかもしれませんが、 ちょっと視点を変えるとそんなに難しくないことが見えてきます。 cos(nπ/2)の値だけを考えてみます。 #2さんも言われているように n= 1, 2, 3, 4, 5,・・・と代入してみましょう。 もっと直感的には、単位円を描いて考えてもよいと思います。 そうすれば、#1さんが言われている意味がわかると思いますよ。＾＾
お礼
naniwacchiさま いつも解説ありがとうございます。naniwacchiさんのおっしゃるように代入してみて、理解できました。本当にありがとうございました。また、よろしくお願いします。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
これ, ただの等比級数だよね.
関連するQ&A
- cos(2π/n)をn=1から20まで求めよという問題
cos(2π/n)をn=1から20まで求めよという問題の解答を教えてください。 cos(2π/5)は正五角形を用いて解けました。 半角の公式を利用してn=10、１２、１６、２０まではなんとかできたのですが・・・ その後いきづまってしまいました。 どなたか解答をよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- cos（x/2）＊cos（x/2^2）＊・・・・・cos（x/2^n）
実数ｘ及び自然数ｎに対して a_n＝cos（x/2）＊cos（x/2^2）＊・・・・・cos（x/2^n） とする。 (1)2^n＊a_n＊sin(x/2^n)の値はｎと無関係に一定であることを証明せよ。 (2)log｜a_n｜をｘで微分することにより、 Σ(n=2～∞)1/2^n ＊tan(π/2^n）＝1/π であることを証明せよ この問題に取り組んでいます。 (1)で2^n＊a_n＊sin(x/2^n)の計算を行っていて、いろいろな三角関数の公式を利用してみたのですが全然うまくいきません。「ｎと無関係」ということはｎが消えればいいということだと思うのですが・・・。 (2)はloga_nを微分したところ -1/2 tan(x/2) - 1/2^2 tan(x/2^2) -・・・となったのですがここから証明すべき式に変形するにはどうしたらいいのでしょうか？ 回答いただければありがたいです。よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 級数の収束・発散の判定Σ(cos^4(arctan(n))/n^(1/4)n)
a_n=(cos^4(arctan(n))/n^(1/4)n) において、 Σa_nの収束・発散を調べています。 cos^4(arctan(n))/n^(1/4)n =1/{n^(1/4)n(n^2+1)^2} なので lim a_n+1/a_n が1未満なら収束ですよね。 a_n+1/a_n=n/(n+1)・(n/(n+1))^(1/4)・(n^4+2n^2+1)/(n^4+4n^3+16n^2+4) となり、 lim a_n+1/a_n=1 となってしまうのでこの級数は発散すると思います。 しかしながら Σa_n<Σ1/n^(5/4) といえ、調和級数の収束・発散条件からΣa_nは収束となってしますよね。 一体、何処を間違っているのでょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- θの方程式cos3θ=cosθ(0°<θ<180°)について
高校生です。 問題を解いてて、θの方程式cos3θ=cosθ(0°<θ<180°)の解法についてわからないところがあったので質問したいと思います。 三倍角、和積の公式を使った解き方とは別に、 3θ<θ+360°に注意して、3θ=360°-θ という解き方ができるようなんですが、何が起こってるのかがよくわかりません。 3θ=360°×n±θ（nは整数）とだけ説明されているのですが、どういうことなのでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
B-jugglerさま 丁寧に教えてくださり、ありがとうございました。解けました！！！ ほんとうにありがとうございました。