- ベストアンサー
積分の公式の導出について
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- ∫(ax^n + b)^α dxに対する不定積分の公式を探しています
∫(ax^n + b)^α dxに対する不定積分の公式を探しています 本には ∫(ax + b)^α dx = {(ax + b)^(α+1)} / {a(α+1)} + C (a≠0) という、xが1次の場合の不定積分の公式は載っています。具体的には ∫(2x + 1)^2 dx = {(2x + 1)^3} / {2(3)} + C みたいなのですね。 ただ、 ∫(ax^n + b)^α dx のように、xの次数が高い場合は載っていません。 ネットで検索しても見つかりません。 ∫(2x^2 + 1)^2 dxなら展開してから不定積分を行えば良いのですが、 ∫{x(a^2 - x^2)^(1/2)} dx のような、もっとややこしい場合は展開もできません。 そのような場合はどうやって計算するのですか？ 勘で ∫(ax^n + b)^α dx = {(ax^n + b)^(α+1)} / {ax^(n-1)(α+1)} + C と思ったのですが、違いますか？ では、お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガウス積分公式の証明についてです！
ガウス積分公式の証明で、 ∫ｄｘ exp(－ａｘ＾２)＝（π／ａ）＾１／２ までは分かるのですが、 多次元の場合の ∫・・・∫ｄｘ1・・・ｄｘn exp(－Σｘｉ Ａij ｘj) ＝（π＾ｎ／２）／（detＡ）＾1/2 (積分範囲は－∞～∞、和の範囲はｉｊ～ｎです。) の証明が、どのようにすれば良いのかどうしても分かりません！教科書などもかなり調べたのですが、基本的すぎるのか探し方が悪いのか、どうやっても分かりませんでした。明日までに解かなければならず、最後の頼みの綱としてここに書かせて頂きます！分かるという方いらっしゃいましたら、どうか教えてやって下さい！お願いします！
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分の公式って覚えるんですか？
積分の教科書の後ろに「公式一覧」として１５０個くらい乗ってて、もちろんこの教科書には積分の仕方の説明も載ってるのですが、演習問題には「巻末の公式一覧を参照しながら」といった問題があります。テストのときはもちろん参照できないわけですし、これは暗記しろということなのでしょうか。 もちろんこれらの公式は、おそらく自分で導き出すことができますが、例えば解の公式や三角関数の２倍角、和積の公式みたいに絶対覚えておいたほうが便利というものなのか？それともこれは特に深い意味はなくてただ作者の趣味か何かで一覧を作ってみたと考えたほうがいいのでしょうか？ ちなみに公式とは∫sinXdxといったものから、∫x√(2ax-x^2)dxといったものまで（√(2ax-x^2)関係だけで、１０個近く公式があります。。。） 回答よろしくおねがいします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の証明
aを実数とし、nを自然数とする。このとき ∫(0→∞) (x^n)*(e^-ax) dx = n!/a^(n+1) が成り立つことを示せという問題があります。 （私の解答） In = ∫(0→∞) (x^n)*(e^-ax) dx とおくと、 In = [ (-(x^n)/a)*(e^-ax) ](0→∞) + n/a∫(0→∞) (x^(n-1))*(e^-ax) dx = n/a*I(n-1)となる。 ここで、Io = [ (-1/a)*(e^-ax) ](0→∞) = 1/aより In = n/a*I(n-1) = (n/a)*(n-1)/a*…*(1/a)*Io = (n!/a^n)*(1/a) = n!/a^(n+1) よって成り立つ。 2行目の広義積分[ (-(x^n)/a)*(e^-ax) ](0→∞)について、私はおそらく0になるだろうと思い、その部分を0と置いて計算しています。しかし[ (-(x^n)/a)*(e^-ax) ](0→∞) = 0 は本当に成り立つのでしょうか？ その証明の仕方が分からず困っています。分かる方がいましたら解説のほうよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 等加速度運動の公式の導出法を教えてください（積分を使わずに）
現在高校生の家庭教師をしているものです。 生徒に対して、物理の序盤で出てくる『x=v0t + at^2/2』の公式を積分をつかって導出してみたのですが、まだ微分積分を習ってないようで、困らせてしまいました。 この公式を積分を使わずに導出するにはどうしたらよいでしょうか？ お力を貸してください。
- 締切済み
- 物理学
- シグマの公式
Σ[k=1からnまで]k^2=n(n+1)(2n+1)/6の導出方法を教えてほしいです googleで検索してみたのですが、なかなかいいサイトがなくて、教えてgooに 質問させていただきました。 Σ[k=1からnまで]k=n(n+1)/2は、1+2+3+4+5+6+.....+nなので初項1 公差1を 等差数列の和の公式S=｛2a+(n-1)d｝/2...(1)に代入して（この公式は導けます）, n(n+1)/2を得ましたが、 Σ[k=1からnまで]k^2も同様に、1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+......+n^2 =1+4+9+16+25+36+49+.....+n^2 漸化式、a_(n+1)=a_(n)+2n+1と表した場合の公差は2n+1と考えて、 初公1,公差2n+1を(1)に代入したのですがn(n+1)(2n+1)/6を得られませんでした。 どこが間違えているのでしょうか？ またどのようにn(n+1)(2n+1)/6を導出すればいいのでしょうか。 pc上での記号の表記の仕方がわからないもので、 わかりづらい箇所があるかと思います。すみません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございました。理解できました。