大学入試(群馬大)ベクトル・三角関数について

このQ&Aのポイント
  • 座標平面上の2点A(sinθ,cosθ)B((√3)×sinθ-cosθ,sinθ+(√3)×cosθ)を考える。
  • ベクトルOBの大きさを求めるためには、cos型で考える。
  • 行列を利用すると位相(120°-θ)が求められる。
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大学入試(群馬大)ベクトル・三角関数について

大学入試(群馬大)ベクトル・三角関数について  下記問題について  座標平面上の2点を   A(sinθ,cosθ)   B((√3)×sinθ-cosθ,sinθ+(√3)×cosθ)  とする。  Oを原点とするとき、  (1) ベクトルOBの大きさ  (2) θ=45°のとき、∠AOBの大きさ  のうち、(1)の以下の内容について、アドバイスいただける  と助かります。  (私の思考)   ○ ベクトルOBの大きさを求めるためにまずは、三角関数の種類を    1つにしたい  ↓  ○ 合成公式により、sin型を検討するが位相が異なってしまう  ↓  ○ 次にcos型でするがまた位相が異なってしまう  ↓  ○(ん~ん、困った・・・)     解答としては、  x=-1×cosθ+(√3)×sinθ  =2cos(120°-θ)  y=-(-1)sinθ+(√3)×cosθ=2sin(120°-θ)  としてから、ベクトルの大きさを求めているのですが、位相  を(120°-θ)とすることに何をもってそうしようとした  のかよくわかっておりません。  ヒントとして「行列を利用するとわかる」とは書いてあるのですが、  なかなかその利用法がわかりません。  いろいろと考えたのですが、どうもたどり着いておりません。  以上の内容について、お分かりになる方がいらっしゃいましたら  お手数をおかけしますが、教えていただけないでしょうか。    よろしくお願いします。  

noname#107358
noname#107358

質問者が選んだベストアンサー

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回答No.2

次の2行2列の行列を考えます(カッコなしです)。 √3 -1 1 √3 この行列に,右から下の列ベクトルOAをかけます。 sinθ cosθ すると,列ベクトルOBがえられます。 ここで,最初の行列は,30度,2倍の回転拡大行列です。 つまり,単位円上の点Aを30度回転して,2倍したのが点B ということなので, OB=2×OA=2

noname#107358
質問者

お礼

konoshudaiさん  ご回答いただきありがとうございました。    なるほど、という感じです。  大変助かりました。  

その他の回答 (2)

noname#29493
noname#29493
回答No.3

なるほど行列だと まずx1=sinΘ、y1=cosΘとおいて x2=(√3)×sinθ-1×cosθ y2= sinθ+(√3)×cosθ のとき(x2,y2)は(x1,y1)を反時計回りに何度回転した座標なのか分かればよいですね。ここで行列使って表示すると (x2,y2)=[√3/2 -1/2]2(x1.y1) (←行列の書き方がうまく分から  [1/2 √3/2]       ずごめんなさい) そして [√3/2 -1/2]=[cos(-30°) sin(-30°)] [1/2 √3/2] [-sin(-30°) cos(-30°)] これは反時計回りに-30°回転させる行列変換を表す。 したがって (x2,y2)=[cos(-30°) sin(-30°)]2(x1.y1)      [-sin(-30°) cos(-30°)] で(x2,y2)は(x1,y1)を2倍に拡大してさらに反時計回りに -30°回転した座標であることが分かったので (x2,y2)の大きさは(x1,y1)の大きさの2倍で (x1,y1)の大きさは1なので結果として2 たしかにこのやりかたもあるね。すごいと思いました

noname#107358
質問者

お礼

 Tryandgoさん  再度ご対応いただき、ありがとうございました。  詳しく説明いただき助かります。

noname#29493
noname#29493
回答No.1

OBの大きさだろう。もう求められるやん。 まず、-1×cosθ+(√3)×sinθ=2sin(Θー30°)で sinθ+(√3)×cosθ=2sin(Θ+60°) と変形でき 2sin(Θ+60°)=2sin(Θ-30°+90°)=2cos(Θ-30°)であるから B((√3)×sinθ-cosθ,sinθ+(√3)×cosθ) =B(2sin(Θー30°), 2cos(Θ-30°)) の大きさ求めればいい。 そしたらsin^2Θ+cos^2Θ=1より OBの大きさは√[{2sin(Θー30°)}^2+{2cos(Θ-30°)}^2]=2 やん。

noname#107358
質問者

お礼

 Tryandgoさん  早速ご回答いただき、ありがとうございました。    確かに、そうです。私は問題の解説のヒントを意識してしまい そのような位相(120°-θ)が行列表示することで判断できる ものと思っていましたもので。    Tryandgoさんの場合、まずは2つ(xとy)を計算して、その後 位相を合わせるやり方ですが、結果として答えが出れば問題なしなの ですが、本問に関して、質問でも書かせていただきましたが、行列に より(おそらく、行列表示した際の・・・)位相部分を見いだすこと ができるのでしょうかね。  お手数お掛けして申し訳ございませんでした。

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