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高校 三角錐に内接する球の半径
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Aから△BCDに下した垂線AH上に内接球の中心Gがあります。またAから辺BC、CD、BDに下した垂線の足をそれぞれL、M、Nとすると、内接球は垂線AL,AM,ANおよびBMに接します。言い換えれば内接球の中心Gはこれらの垂線と等距離にあります。このことを整理すると、三角錐の対称性から、断面△ABMにおいてAH上のGから、それぞれ辺BMと辺AMに下した垂線GHと垂線GFの長さが等しいGの位置が内接球の中心Gであり、等しい垂線の長さが内接球の半径rになります。 これを式で書けば、HM=√6,AM=3√2,AH=2√3であることから AHを内接円の半径rを使って 2√3=r+r*3√2/√6 という関係式が導けます。 これをrについて解けばいいですね。 理解しやすいように三角錐ABCDの立体と内接球Gの内接状態を3次元透視図にして添付しておきます。
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- Ishiwara
- ベストアンサー率24% (462/1914)
> △BCDの面積を「２/１×６√２×６√２×sin60」で求め > △BCD＝2/1×r×（３×６√２）で計算した 第１の式は合っていますが、第２の式の根拠が示されていないので回答できません。
お礼
辺の長さがabcの三角形ABCがあるとする 内接円の中心をOとし半径をrとすると △ABC＝△ABO+△ACO+△BCO、なので △ABC＝2/1×ｒ×（a+b+c） △BCDの三辺は６√２なので３×６√２と省略しました。 回答ありがとうございました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
えぇと, 「△BCDに内接する円が求める球の最大断面」と考えると, その球はどうがんばっても面BCD に接しませんよね＞#1. 何しろ, 中心が面BCD 上にあるわけですから.... さておき, 私にもどういう事情で「△BCDに内接している円」が出てきたのか想像できません.
- gohtraw
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△BCDに内接する円が求める球の最大断面という考えですか？それではこの三角錐の４面に内接することにはならず、大きすぎるのではないですか？解説に図は載っていませんか？
お礼
ご回答ありがとうございました。 まったくもってその通りでした。
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お礼
図までつけてくださってありがとうございます。 とてもわかりやすかったです。