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高校 三角錐に内接する球の半径

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お礼率 16% (9/56)

AB=AC=AD=6、BC=CD=DB=6√2である三角錐に内接する球の半径を求めよという問題で

ボクは△BCDに内接している円と考え
△BCDの面積を「2/1×6√2×6√2×sin60」で求め
△BCD=2/1×r×(3×6√2)で計算したのですが
何度やっても答えが合いません…

どこか間違っているかわかる方解説よろしくです。

実際の答えの解説は本に載っているので大丈夫です。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 67% (2650/3922)

Aから△BCDに下した垂線AH上に内接球の中心Gがあります。またAから辺BC、CD、BDに下した垂線の足をそれぞれL、M、Nとすると、内接球は垂線AL,AM,ANおよびBMに接します。言い換えれば内接球の中心Gはこれらの垂線と等距離にあります。このことを整理すると、三角錐の対称性から、断面△ABMにおいてAH上のGから、それぞれ辺BMと辺AMに下した垂線GHと垂線GFの長さが等しいGの位置が内接球の中心Gであり、等しい垂線の長さが内接球の半径rになります。
これを式で書けば、HM=√6,AM=3√2,AH=2√3であることから
AHを内接円の半径rを使って
2√3=r+r*3√2/√6
という関係式が導けます。
これをrについて解けばいいですね。

理解しやすいように三角錐ABCDの立体と内接球Gの内接状態を3次元透視図にして添付しておきます。
お礼コメント
negoto

お礼率 16% (9/56)

図までつけてくださってありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。
投稿日時 - 2010-03-06 17:11:24
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 54% (1627/2962)

 △BCDに内接する円が求める球の最大断面という考えですか?それではこの三角錐の4面に内接することにはならず、大きすぎるのではないですか?解説に図は載っていませんか? ...続きを読む
 △BCDに内接する円が求める球の最大断面という考えですか?それではこの三角錐の4面に内接することにはならず、大きすぎるのではないですか?解説に図は載っていませんか?
お礼コメント
negoto

お礼率 16% (9/56)

ご回答ありがとうございました。
まったくもってその通りでした。
投稿日時 - 2010-03-06 17:10:44

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 23% (3656/15479)

えぇと, 「△BCDに内接する円が求める球の最大断面」と考えると, その球はどうがんばっても面BCD に接しませんよね>#1. 何しろ, 中心が面BCD 上にあるわけですから.... さておき, 私にもどういう事情で「△BCDに内接している円」が出てきたのか想像できません.
えぇと, 「△BCDに内接する円が求める球の最大断面」と考えると, その球はどうがんばっても面BCD に接しませんよね>#1. 何しろ, 中心が面BCD 上にあるわけですから....
さておき, 私にもどういう事情で「△BCDに内接している円」が出てきたのか想像できません.
  • 回答No.4
レベル13

ベストアンサー率 24% (462/1914)

> △BCDの面積を「2/1×6√2×6√2×sin60」で求め > △BCD=2/1×r×(3×6√2)で計算した 第1の式は合っていますが、第2の式の根拠が示されていないので回答できません。 ...続きを読む
> △BCDの面積を「2/1×6√2×6√2×sin60」で求め
> △BCD=2/1×r×(3×6√2)で計算した
第1の式は合っていますが、第2の式の根拠が示されていないので回答できません。
お礼コメント
negoto

お礼率 16% (9/56)

辺の長さがabcの三角形ABCがあるとする
内接円の中心をOとし半径をrとすると
△ABC=△ABO+△ACO+△BCO、なので
△ABC=2/1×r×(a+b+c)

△BCDの三辺は6√2なので3×6√2と省略しました。

回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2010-03-06 17:18:42
  • 回答数4
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