（教えてください）数学の確率の問題

質問

こんにちは、初めて質問します。
確率の問題（高校生レベル？・・・でしょうか？）でわからない問題があるので、どなたか教えていただけませんか？

（１）１番から１０番までが書かれたカードと１０面体のサイコロがあります。サイコロを振り、出た目と同じ番号のカードを裏返します。一度裏返したカードは元には戻さないことにします。このとき、１０回サイコロを振った場合に、裏返るカード枚数の期待値を求めなさい。

（２）（１）を一般化します。
１番からＮ番までが書かれたカードとＮ面体のサイコロがあります。サイコロをふり、出た目と同じカードの番号のカードを裏返します。一度裏返したカードは元には戻さないことにします。このとき、Ｘ回サイコロを振った場合に、裏返るカード枚数の期待値を求めなさい。

・・・（２）の場合、
　Ｘが１なら１枚
　Ｘが無限大に近づくとＮ枚
になると思いますが、Ｘが２、３、、、と増えていくと、
そしてＮが可変、、、となると訳がわからなくなってしまいました。

どなたか、教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.2

nag0720

さいころをx回振ったとき、１番からn番までのカードがk枚裏返っている確率P(x,k)は、
x-1回までにk-1枚が裏返っている場合と、k枚が裏返っている場合に分けて考えると、
P(x,k)=P(x-1,k-1)*(n-k+1)/n+P(x-1,k)*k/n
これを解くと、
P(x,k)=nCk*(Σ[i=0…k](-1)^i*kCi*(k-i)^x/n^x
期待値は、
Σ[k=0…n]k*P(x,k)

n=x=10の場合の期待値は、
6.5132156

お礼

・・・完璧な回答、ありがとうございます。
もう少し勉強し柔軟な考え方ができるよう努力します。

本当にありがとうございました。

補足

ご回答をいただきお礼を書いた後で、
じっくり考えてみたのですが、
P(x,k)=P(x-1,k-1)*(n-k+1)/n+P(x-1,k)*k/n
までは、よく理解できました。
が・・・

これを解くと、
P(x,k)=nCk*(Σ[i=0…k](-1)^i*kCi*(k-i)^x/n^x
・・・というところが分かりません。

基本的な展開なのかもしれませんが、
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

※特に、
・「Σ[i=0…k](-1)^i」をしなければならない理由
・「nCk」をしているにもかかわらず、「Σ[i=0…k]kCi」としなければならない理由
等
＃それとも、「これを解く」際に、（「なんらかの算術的な）公式等を使っているのでしょうか？

回答No.1

tsuyoshi2004

表のカードがＫ枚あるときに次に振ったサイコロで裏返す確率はＫ／Ｎになります。
その結果、表の枚数の期待値は（Ｋ－Ｋ／Ｎ）になります。

同様にその次のサイコロでは、（Ｋ－Ｋ／Ｎ）／Ｎの確率で裏返すので、表の枚数は（Ｋ－Ｋ／Ｎ－（Ｋ－Ｋ／Ｎ）／Ｎ）枚になります。

あとはこれを一般化して考えることです。

お礼

早々のご回答、ありがとうございます。
ご指摘を受けて考えてみると、、、案外簡単なんですね。
すっきりしました。

ありがとうございました。