慣性力について

質問

慣性力について

一定の加速度aで下降しているエレベータ内で水平方向にボールを投げたときの
ボールの運動の見え方の違いについてなんですが、
エレベータ内から見るとボールは斜めに投げ上げたような運動、
エレベータ外から見るとボールは水平投射の運動をするように見えるのでしょうか？
それから、運動方程式についての質問なんですが、（垂直上向きを+yとする）
エレベータ内から考えたときのy軸方向の運動方程式は、
(d^2)y(t)/(dt)^2 = -mg+ma
でmaが慣性力ということであってますか？それでエレベータ外から考えたときは
maというのはどういう力と考えればいいのでしょうか？
お願いします。

回答No.2

BookerL · ベストアンサー

＞(d^2)y(t)/(dt)^2 = -mgという運動方程式
＞を用いても、同じ答えが出るのでしょうか？

　ちょっとやってみましょうか。

　ボールを投げた瞬間を　ｔ＝０　とし、
　投げた点を原点、水平方向のボールを投げた向きに ｘ軸、鉛直下向きに ｙ軸を取ります。
　また、ボールを投げた瞬間のエレベーターの速度を下向きに ｖy0 とします。

　ｘ方向の運動方程式　　ｍ(d^2ｘ(t))/(dt)^2 = 0　より　(d^2ｘ(t))/(dt)^2 = 0
　ｔで積分し、dｘ(t)/dt^2 = Ａ 、初期条件より　dＸ(t)/dt^2 = ｖ0、
　さらに積分し、x(t) = ｖ0ｔ + B 、初期条件より　x(t) = ｖ0ｔ　……(1)　

　ｙ方向の運動方程式　ｍ(d^2ｙ(t))/(dt)^2 = ｍｇ　より　(d^2ｙ(t))/(dt)^2 = ｇ
　ｔで積分し、dｙ(t)/dt^2 = ｇｔ + Ｃ 、初期条件より　dｙ(t)/dt^2 = ｇｔ + ｖy0
　さらに積分し、ｙ(t) = (1/2)ｇｔ^2 + ｖy0t + Ｄ 、初期条件より ｙ(t) = (1/2)ｇｔ^2 + ｖy0t ……(2)

　次に、エレベーターのボールを投げた位置を考え、そのｔ秒後の位置を ｙE とすると、
　その加速度が α なので　(d^2ｙ(t))/(dt)^2 = α
　ｔで積分し、dｙE(t)/dt^2 = αｔ + Ｆ 、初期条件より　dｙE(t)/dt^2 = αt + ｖy0
　さらに積分し、ｙE(t) = (1/2)αｔ^2 + ｖy0t + Ｇ 、初期条件より y(t) = (1/2)αt^2 + ｖy0t ……(3)

　ボールが床に落ちた時刻を ｔ とすると、ボールの位置 ｙ はエレベーターの位置 ｙE より ｈ だけ先に行っていますので、y = yE + h、これに (2)(3) の結果を入れ、

(1/2)ｇｔ^2 + ｖy0ｔ = = (1/2)αｔ^2 + ｖy0t + ｈ

変形して (1/2)(ｇ - α)ｔ^2 = ｈ 、ｔ = √(2ｈ/(ｇ - α)) ……(4)

(4)を(1)に入れると ｘ(t) = ｖ0√(2ｈ/(ｇｰα)) となります。

お礼

ありがとうございます！
おおむね理解できましたが、一点だけ直感的に分からないところがあって、
ボールのy方向の速度の式
dｙ(t)/dt = ｇｔ + ｖy0
というので、t=0のときのボールのy方向の速度がどうして
ボールを投げた瞬間のエレベータの速度なのかというのが、イメージが湧かなくて
混乱してます。
質問ばかりで申し訳ありません。

回答No.4

BookerL

＞エレベータ内部から見て水平に投げた。つまり、エレベータ内から見るとボールは水平投射の運動、
＞エレベータ外から見るとボールは斜め下に投げたような運動ということでしょうか？

　そのとおりです。

お礼

ありがとうございました。
すべて納得できました。本当に感謝します。

回答No.3

BookerL

＞t=0のときのボールのy方向の速度がどうして
＞ボールを投げた瞬間のエレベータの速度なのか

　エレベーターの中で見て水平方向にボールを投げるので、ボールの鉛直方向の速度はエレべーターに対する相対速度が ０ です。これをエレべーター外から見ると、ボールとエレベーターは鉛直方向の速度成分が同じであり、ボールを投げた瞬間、エレベーターは下向きに ｖy0 で動いているので、ボールの初速度の鉛直成分はエレベーターの速度の鉛直成分と同じ ｖy0 となります。

　問題集などに、上昇する気球から物体を静かに落とす話がときどき出てきます。（出会った事はないかな？）この場合、気球の人から見て初速度が ０ なのですが、気球外から見ると、気球の上昇速度と同じ初速度の投げ上げ問題になります。
　今回のエレベーターの問題も、初速度に関しては同じことになります。

お礼

なるほど、ということはこの問題は最初の質問で言うと
エレベータ外部から見て水平に投げた（エレベータ内から見るとボールは斜めに投げ上げたような運動、
エレベータ外から見るとボールは水平投射の運動）のではなく、
エレベータ内部から見て水平に投げた。つまり、エレベータ内から見るとボールは水平投射の運動、
エレベータ外から見るとボールは斜め下に投げたような運動ということでしょうか？

回答No.1

BookerL

＞エレベータ内で水平方向にボールを投げた

　この「水平方向」というのが、エレベーター内部で見た時の方向か、外部から見た時の方向か、という事によります。
　外部から見ての水平方向への投げ出しなら、

＞エレベータ内から見るとボールは斜めに投げ上げたような運動、
＞エレベータ外から見るとボールは水平投射の運動

ということになります。

＞エレベータ外から考えたときは
＞maというのはどういう力と考えればいいのでしょうか？

　ｍａという慣性力は、エレベーターが慣性系ではないために現れる物ですから、エレベーター外から考えた時には存在せず、物体の運動方程式は

(d^2)y(t)/(dt)^2 = -mg

となります。

お礼

回答ありがとうございます。
この質問は下の問題を解いているときに思った質問なんです。
問題：一定の加速度αで垂直に下降するエレベータの中で、床からhの高さのところから
水平に速さv0で投げたボールは、エレベータの中では、水平方向にどれだけ進んで床に落ちるか。

それで、この問題を解くとき、
初期条件（時刻t=0のとき）としてx(t)=0、y(t)=hというのを設定しました。
そしてx軸、y軸の運動方程式はそれぞれ
m(d^2x(t))/(dt)^2=0・・・ア
m(d^2y(t))/(dt)^2=-mg+mα・・・イ
ア、イより
x方向の加速度a<x>=(d^2x(t))/(dt)^2=0
y方向の加速度a<y>=(d^2y(t))/(dt)^2=α-g
それぞれをtで積分し
x方向の速度v<x>=(dx(t))/(dt)=0+A　初期条件よりA=v0 よってv<x>=v0
y方向の速度v<y>=(dy(t))/(dt)=(α-g)t+B 初期条件よりB=0 よってv<y>=(α-g)t
さらにtで積分し
x(t)=v0t+C C=0よりx(t)=v0t・・・ウ
y(t)=(1/2)(α-g)t^2+D D=hよりy(t)=(1/2)(α-g)t^2+h・・・エ
エよりy(t)=0となるのはt=√((2h)/(g-α))
これとウより床に落ちたときのx(t)=v0√((2h)/(g-α))

という解き方をしました。この解き方は慣性力を用いた解き方なのですが、
慣性力を使わない解き方(エレベータの外から見た解き方)をしても、最終的な
答えは変わらないと思うのですが、(d^2)y(t)/(dt)^2 = -mgという運動方程式
を用いても、同じ答えが出るのでしょうか？また、この問題を慣性力を用いずに解くことは
難しいのでしょうか？