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位相幾何学(?)

とあるときにこの問題を教えてもらったんですが、答えが全く分からなくて困ってます。 位相幾何学だ、と言ってました。 たとえば、ある立体を平面に展開して   AB   ↑↑ C→□□→C D→□□→D   ↑↑   AB のようになれば、これはドーナッツ型になる、とのことです。 ここまではわかって、次の問題ですが   AB   ↑↑ D←□□→C A→□□←B   ↑↑   DC だそうです。 これはどんな立体を展開したものなのか、全くわからず、何時間も使ってしまって困ってます…。

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  • wloop
  • ベストアンサー率76% (13/17)
回答No.2

辺の向きを反時計周りが正方向になるようにとりそれをたとえば A、B、C等とあらわします。 時計回りの向きを持つ場合は A^(-1)、B^(-1)、C^(-1)等とあらわします。 一番上の左にあるのAからはじまって反時計回りに 辺がADADCBCBの順にならんでるとします。 (すなわち時計周りの向きの辺は無い。)また 一番上の左にある辺Aの右端を1、左端を2、後順に反時計回りに 八角形の頂点に順に1~8番まで番号をつけていきます。 218 3 7 456 上のような順に番号がつけられると思います。 結論からいうとこれはクラインの壷に等しくなります。 以下手順です。 与えられた図形を変形していきます。 頂点1と頂点3を結ぶ直線で図形をきります。 頂点1から頂点3に向かう辺をXとします(向きは時計回りです)。 切り取った図形の辺A(頂点1,2)と切り取られた 図形の辺A(頂点3,4)とを向きが同じになるよう重ねます。 重ね合わせた後の図形は XXD^(-1)DCBCBとなります。 D^(-1)Dはちょうどその真ん中で折りたたむようにすると XXCBCBと変形できます。 こんどはこの変形された図形を上の番号で言うと 頂点5と頂点7を結ぶ直線で図形をきります。 頂点5から頂点7に向かう辺をYとします(向きは時計回りです) 切り取った図形の辺C(頂点5,6)と切り取られた 図形の辺C(頂点7,8)とを向きが同じになるよう重ねます。 重ね合わせた後の図形は XXYYB^(-1)Bとなります。 B^(-1)Bはちょうどその真ん中で折りたたむようにすると XXYYと変形できます。 この図形は同じような変形でクラインの壷(例えばXZX^(-1)Zとあらわせる) と等しいことが簡単にわかります。

その他の回答 (2)

  • wloop
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回答No.3

#2です。訂正です。2箇所あります。 (1) >頂点1から頂点3に向かう辺をXとします(向きは時計回りです)。 この文章の「(向きは時計回りです)」を「(向きは反時計回りです)」 に訂正してください。 (2) >頂点5から頂点7に向かう辺をYとします(向きは時計回りです)。 この文章「(向きは時計回りです)」を「(向きは反時計回りです)」 に訂正してください。 以上訂正終わりです。 なお、辺の向きを変えると同じ並びでも図形は かわります。#2の記号を使うと ADA^(-1)D^(-1)CBC^(-1)B^(-1) という辺の向きで並んでいればそれは 二つ穴の開いた浮輪の形になります。 この形はURLを参考にしてください。

参考URL:
http://en.wikipedia.org/wiki/Genus-2_surface
  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.1

下の図のような展開図になるような、立体は不可能だと思います。 表面が連続(切れ目なく)つながっていない。 たとえば、そういう立体ができたとすると、 あるいは、展開図上での上辺(4つある□のうちの上2つの□の上辺を結んだ辺)は、立体上で連続な線じゃないことになってしまいます。もっと言えば、展開図で上辺の中点(AとBとの境界上にある点)は、立体の上で行き先が確定できないです。 もうちょっと数学的な言葉でいうと、 下の展開図のような張り合わせをもつ2次元多様体は存在しません。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93

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