ベクトルの問題

質問

※問題は画像にあります。
x(t)としてx(t)=(t,t^2)とすると微分して得た速度ベクトルは
v(t)=(i.2*t)となり、OA（ベクトル）の定数倍にはならないと思うのですが、これを満たすx(t)は存在するのでしょうか？

証明したいv(t)=(f'(t).g'(t))=mOA（ベクトル）において
v(t)=(f'(t).g'(t))とmOA（ベクトル）の外積を計算したら０になるはずなので、それを方程式にしてみると
mf'(t)＝mg'(t)が出てきました。
この式はいったい何を意味しているのでしょうか？

自分なりの答えとしては、x(t)=(t^n,t^n)であればいいのだと思いますが自信がありません。
そもそも証明せよ。と言われているのにこのような考えをするのが間違っているのかもしれません。

間違っている箇所も指摘していただきたいです。

お願いします。

回答No.4

f272 · ベストアンサー

それはg(0)=0だからいらないように思うんでしょう。
この問題に限れば
h(t)=f(t)-(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))*(g(t)-g(0))
ではなく，f(0)=g(0)=0でf(1)=g(1)=1だから，はじめから
h(t)=f(t)-g(t)
でも構いませんが，一般的な形式で書いてみたまで。

回答No.3

f272

> 最後にh(t)をどのようにして発見したのでしょうか？

コーシーの平均値の定理
(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c) ただしa<c<b
となるcが存在する，というのを横目でみてたら思いつくよね。
コーシーの平均値の定理を証明するときの定番のやり方です。

補足

何度もすみません。
コーシーの平均値の定理を使うなら
h(t)=f(t)-(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))*(g(t)-g(0))の最後の
*(g(t)-g(0))のg(0)がいらない気がするんですけど。

結局g(0)は何か意味があったのですか？

回答No.2

f272

> h(t)は何を表わしているのでしょうか？すみません。

あとの計算で都合のよい関数を定義しただけです。

h(t)=f(t)-(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))*(g(t)-g(0))
から
h'(t)=f'(t)-(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))*g'(t)
になるから
h'(s)=0
は，つまり
f'(s)-(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))*g'(s)=0
f'(s)=g'(s)
と言う事です。これは
「t=0からt=1の間のある時刻sで，(f'(s),g'(s))=m(1,1)になると言う事を主張しています。」
でしょ。

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。
最後にh(t)をどのようにして発見したのでしょうか？

ぜひお願いします。

回答No.1

f272

問題は，t=0からt=1の間のある時刻sで，(f'(s),g'(s))=m(1,1)になると言う事を主張しています。

h(t)=f(t)-(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))*(g(t)-g(0))
とすれば
h(t)は閉区間[0,1]において連続かつ、開区間(0,1)において微分可能であり，
h(0)=h(1)=f(0)
だから
h'(s)=0
となるsが0<s<1に存在するよね。

補足

h(t)は何を表わしているのでしょうか？すみません。

後半は平均値の低利ですよね。h'(s)=0となるsが0<s<1に存在する。つまりどういうことなんですか？

何も分からず申し訳ないです。