- ベストアンサー
微分方程式の問題です
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
グラフ上の点(x,y)において接線が直交すること。 計算としては ｙ’を求めて Y '＝1/（-y'） となる式を作る。 与えられた式を微分すると ２ｙｙ’＝ｃ ｙ’＝c/（2y） だから Y '＝-2y/c 大文字、小文字はグラフを区別するために変えただけで 微分方程式としては ｙ’＝-2y/c でいいと思います。
その他の回答 (1)
前の回答でまずいところがありました。お詫びします。 前回の続きです。 Ｃはｘ、ｙで決まってしまいます。 Ｃ＝y^2/x として ｙ’＝-2y/c に代入してＣを消しておかなければいけませんでした。 そうすると ｙ’＝-2x/y ｙｙ’＝－２ｘ 積分して （1/2）ｙ＾２＝－ｘ＾２＋Ｃ（このＣは前のとは関係の無い積分定数） ｘ＾２＋(1/2)ｙ＾２＝Ｃ
お礼
すいません、結局最後まで教えてもらうことになって。おかげさまで分かりました。 楕円の式になるとゆうのはグラフで考えてもなっとくでした。 ありがとうございました。
関連するQ&A
- 微分方程式の問題
当方理系大学生です。次の微分方程式の問題について質問させていただきます。 ---------------------------- [問題]円群 x^2+y^2=c^2の各曲線に45°で交わる曲線群の満たす微分方程式が次式で表されることを示せ。 x+y(y'-1)/(y'+1)=0 ---------------------------- この問題を、私は次のように解きました。 ---------------------------- x^2+y^2=c^2に45°で交わる曲線のひとつをy=f(x)とおく。これの点(x,y)における接線ベクトルは(1,f'(x))とできる。同様に、x^2+y^2=c^2の点(x,y)における接線ベクトルは(1,y')とできる。これらの接線ベクトルが45°で交わるとき、二つのベクトルの内積を考えれば、 1*1+f'(x)*y'=√(1+f'(x)^2)√(1+y'^2)cos45° 両辺を二乗して、整理すると、 (f'(x)^2-1)y'^2+4f'(x)y'+1-f'(x)^2=0 を得る。これをy'について解くと、 y'=(-2f'(x)±(f'(x)^2+1))/(f'(x)-1) よって、 y'=f'(x)-1 または y'=-(f'(x)+1)/(f'(x)-1) を得る。 ---------------------------- さて、最後にy'が2つ出てしまって、問題から言えば前者が排除できるはずなのですが、なぜ排除できるのかを説明することができません。解答・解説を見ても、「曲線群f(x,y,y')=0の各曲線に角αで交わる曲線群の満たす微分方程式はf(x,y,(y'-tanα)/(1+y'tanα))=0となる」とあるだけで詳しく解説されておりませんでした。 y'=f'(x)-1とならないのはなぜか、お答えいただければと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式についてわからないことが・・・
今 y'=-1/xy の微分方程式をときました。 ∫y dy=∫-x dx 1/2×ｙ＾２＝－log|x|+C =-log{Cx{ e^(1/2×y^2)=-|Cx| =Cx これを微分方程式の解とします。 これを微分して与式になることを確認したいのですが 答えの両辺をｘで微分して ye^(1/2×y^2)×y'=C 両辺にｘかけて xyy'e(1/2×y^2)＝Cx ＝e^(1/2×y^2) よってy'=1/xy となり－がでてきません。 計算途中でC=±Cとしているので符号がおかしくなるのはわかりますが、確認の際は勝手にそれを考慮して－をつけてもいいのでしょうか？ どのように解答をかいていけばいいのでしょうか？ わかるかたお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の勉強をしていてわからないところがあり、困ってます。
微分方程式の勉強をしていてわからないところがあり、困ってます。 わかる方がいたら教えてください。 次の曲線群の微分方程式を求めよ。 （１）ax?＋bx?=1 答え。yy’ = xy’?＋xyy’’ （ ?は二乗です。） 次の微分方程式を解け。 （１）y?dx-x?dy=0 （２）cosxcos?y＋y’sin?xsiny=0 答え （１）y=2x?/（cx?＋1） （２）sinx-cosy=csinxcosy 次の微分方程式を（）内の初条件のもとで解け。 （１）ルートx かける y’ ＝ ルート（y＋1） （x=0,y=3） 答え y=x＋4ルートx＋3 おねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式
微分方程式は問題を解くやり方が異なると答えも若干ことなるのでしょうか？ たとえば x^2＊y'+y^2=0・・(1) y'=-y^2/x^2 z=y^2/x^2 ・ ・ としていけば y=cx/(x-c) となりますが (1)から dy/y^2=-dx/x^2 ・ ・ y=cx/(x-c) また(1)から完全微分方程式とみなして x^2y+xy^2=c としてもいいのでしょうか？ もうひとつ （x+1)y'=x+2y+3 という問いは ｙ’-2y/(x+1)=(x+3)/(x+1) として一階線形微分方程式のように解くと y=(1/(x+1)^2)(x^4/4+3x^2/2+x+log(x+2)+c) とならないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式についての質問です。
微分方程式についての質問です。 問題.x^2-y^2+2xy*y'=0を解け。 上記の問題を同次形微分方程式の解き方で解くと、 x^2+y^2=Cx(Cは０でない定数) という一般解が求まりました。 ここで疑問なんですが、一般解を変形してy'を求めると y^2=Cx-x^2 y=√（Cx-x^2）,-√(Cx-x^2) y'=(C-2x)/(2√(Cx-x^2)),-(C-2x)/(2√(Cx-x^2)) となるので、x=0,Cではy'が定義されないことになります。 この場合、一般解のxの定義域として「x=0,Cは除く」ということでいいのでしょうか？ いろいろ考えると分からなくなってきました…
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の問題です。特殊解を教えて下さい。
微分方程式 X^2*Y" - 5X*Y' + 8Y = e^x この余関数は CX＾２ ＋ CX＾4 ですが、特殊解が分りませんので教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解の曲線族
微分方程式の一般解の曲線族 微分方程式をといて、曲線族を書くという問題が手元にあるのですが、（宿題ではありません） 方程式が解けても曲線族がかけません。 y=exp(-ax+C) ならまだ書けるのですが、 １.（y-2x）^2(y+x)=C ２.(y-x)^3=C(y+x) ３．y^2-xy+x^2=C （Ｃは積分定数） とかさっぱりです。 他にもあるので、他のが自力で書けるように詳しい説明お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題がわからなくて困っています
微分方程式を勉強しているのですが、購入した本が略解しか載っていないため困っています。 (x + y)・y' = 4y - 2x この式の微分方程式が解けません。 答えは(y - 2x)^3 = c(x - y)^2になるようです。 どのように解いていけばこの答えにたどり着けるのでしょうか？ 詳しい方がいましたら回答よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
補足
よく分かってないもので間違ったこと言ってたら、申し訳ないんですがこの問題はこの微分方程式を解けと続いてまして、その答えが2x^2+y^2=cなんですけどよく分からないです。