また数列の問題です

質問

おはようございます。また教えていただきたいのでよろしくお願いします。

ｎが自然数の時、次の不等式を数学的帰納法で証明せよ。

（ｎ+１)(ｎ+２)(ｎ+３)・・・・(２ｎ)＝２^ｎ・１・３・５・・・・(２ｎ－１)

回答はあるのです。あるのですがどうしてそうなるのか理解できないのです。

（ｎ+１)(ｎ+２)(ｎ+３)・・・・(２ｎ)＝２^ｎ・１・３・５・・・・(２ｎ－１)・・・・(1)

[1]　ｎ＝１の時
　　　　　(左辺)＝２,　(右辺)＝２^１・１＝２
　　　　　よって、ｎ＝１の時(1)は成り立つ。

[2]　ｎ＝ｋの時、(1)が成り立つと仮定すると
　　　　　(ｋ+１)(ｋ+２)・・・・２ｋ＝２^ｋ・１・３・・・・(２ｋ－１)

と、ここまでは分かるのですが、これ以下がどうしてそうなるのか分かりません。詳しく教えてください。

ｎ＝ｋ+１の時を考えると
　　　　　(ｋ+２)(ｋ+３)・・・・(２ｋ)・(２ｋ+１)(２ｋ+２)
　　　　　＝２^ｋ１・３・５・・・・(２ｋ－１)/ｋ+１・(２ｋ+１)(２ｋ+２)

あたりから分からないのです。よろしくお願いします。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

lin__linさん、こんにちは。

＞（ｎ+１)(ｎ+２)(ｎ+３)・・・・(２ｎ)＝２^ｎ・１・３・５・・・・(２ｎ－１)

(n+1)(n+2)・・・(n+n)=(2^n)*{1*3*5*・・*(2n-1)}・・・（★）
を数学的帰納法で示す。

1)n=1のとき（★）は
　左辺＝２、右辺＝２＾１＝２で成立。

2)n=kのとき、（★）が成り立っていると仮定すると、
(k+1)(k+2)・・・(k+k)=(2^k){1*3*5*・・*(2k-1)}・・・（☆）
が成り立っていることになる。

3)n=k+1のときを考える。
(k+1+1)(k+1+2)・・(k+1+k)(k+1+k+1)={2^(k+1)}{1*3*5*・・*(2k-1)*(2k+1)}
が成り立つことが、いえればよい。

ここで、この左辺は、（☆）の左辺を(2k+1)(2k+2)/(k+1)倍したものである。
ですから、（☆）を変形していって、
（☆）の左辺×(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=（☆）の右辺×(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=(2^k){1*3*5*・・*(2k-1)}*(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=(2^k){1*3*5*・・*(2k-1)*(2k+1)}2(k+1)/(k+1)
={2^(k+1)}{1*3*5*・・*(2k-1)*(2k+1)}
となるので、これはn=k+1のときも（★）が成り立つことを示していますね。

1)2)3)より、全ての自然数ｎについて（★）が成立することがいえました。

ポイントは、n=kのときの左辺を
(2k+1)(2k+2)倍して(k+1)で割ってやると、
n=k+1のときの左辺と同じになることです。
あとは、2k+2=2(k+1)とくくりだし、この２を前に持ってくれば
示したい右辺の形になります。
ややこしいですが、じっくり考えるとできると思いますので頑張ってくださいね！！

お礼

よく分かりました～!!!!(^O^)
もースグ、テストなので頑張りマス!!
ありがとゥございましたァ(^^ゞ

回答No.1

hogeta

n=kのときとn=k+1のときとで、
(k+2)(k+3)...のようにかぶっている部分と
そうでない部分がありますよね?
そこを比較してみて下さい。