すでに意見が出ているとおりなのですが、
「√(x^2)=x」は常に正しい式か？という○×問題を、中３に√を教える数学の先生は出してあげなくてはなりません。（高校入試でも毎年どこかで出てそうな問題かも？）
数学では「物事が正しいことを示すには、正しいことを証明しないといけない。間違っている場合には、反例を示せばよい。」ということのようです。（この辺の内容は、高校の「命題」関係のお話になります。）
今回の問題では、x=-12は、まさに「√(x^2)=x」の反例にあたります。
反例があるのなら、この式変形は正しくない、すなわち「数式展開でルール違反が有る」と言わざるをえません。
ちなみに、これは割り切りでもなんでもないですよ。
投稿日時 - 2003-05-11 00:14:26
お礼
真摯なご回答ありがとうございます。
No10でaを実際に代入する値としますと、√((-a)^2)=a
と云う事でほぼ 理解できました。
ただNo9の考え方でアプローチした時どうしても
実際の値が後で与えられるため、y=f(x)=xとしてから
計算すると符号が判別できません。
y=f(x)=√(x^2)=xのままy=f(x)の中身√(x^2)=を残し
て置いてxに実際の値を入れるとき符号を判別しなければ
ならない為、代数的にすっきりしません。
ご回答に"「√(x^2)=x」は常に正しい式か？という○×
問題を、中３に√を教える数学の先生は出してあげなくてはなりません。"とありましたが、この言葉を聞きたくて
ここ(No13)まで来た様に思います。
ほんとうにありがとうございました。
投稿日時 - 2003-05-11 01:19:35
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ベストアンサー以外の回答（12件中 1～5件目)
誤解の原因は
＞正のほうを √a 負の方を -√a と書く。
の中の「正のほう」、「負のほう」という言葉についてでしょう。
√（ｘ＾２）に対しｘを「正のほう」、－ｘを「負のほう」
と思い込んで居られるのではないかと思われます。
「文字」については必ずしもマイナスがついているほうが
「負のほう」とは限りません。
ｘに具体的な数字が入って初めて正のほう、負のほうが決まります。
ちょっとくどくなりました。私はこれで退場させていただきます。
投稿日時 - 2003-05-10 23:28:52
お礼
ご回答ありがとうございます。
ojamanboさんのNo10で√((-a)^2)=aと云う事でほぼ
理解できました。
"√（ｘ＾２）に対しｘを「正のほう」、－ｘを「負のほう」と思い込んで居られるのではないかと思われます"
と有りますが、そうではない事はNo9の補足でお分かり
かと思います。
ただごのNo9の考え方でアプローチした時どうしても
実際の値が後で与えられるため、y=f(x)=xとしてから
計算すると符号が判別できません。
y=f(x)=√(x^2)=xのままy=f(x)の中身√(x^2)=を残し
て置いてxに実際の値を入れるとき符号を判別しなければ
ならない為、代数的にすっきりしません。
ともあれ、問題の個所がほぼ理解できました。
ほんとうにありがとうございました。
投稿日時 - 2003-05-11 00:58:22
siegmund です．
私も waseda2003 さんの
> ひょっとしたら，√は「平方する前の元に戻す」記号だと誤解されているのではないでしょうか？
> No.6の補足を読んでも何かしらの誤解があるように見受けられます。
と同様の感じを受けます
特に
> つまり
> √の中身は２乗の結果として正であり、２乗する前の
> 符号を限定する約束はどこにも見当たりません。
のあたり．
144 は単に 144 だけの意味しか持っていません．
144 の起源が (12)^2 か (-12)^2 か，あるいは (13)^2 - 5^2 か，などの
「過去の履歴」を引きずってはいけません．
投稿日時 - 2003-05-10 21:38:46
お礼
ご回答ありがとうございます。
つまり
√((-a)^2)=a
ということですね
投稿日時 - 2003-05-11 00:32:00
√ｘ＾２＝ｘ が間違い。（これは２乗が外についている場合には成り立ちます。）
ルートの約束はそうではありません。
ルートの定義は次のようになります。
ｘ＞０のときは√ｘ＾２＝ｘ
ｘ＜０のときは√ｘ＾２＝－ｘ （ここが大事です）
たとえば ｘ＝－５ であれば
√（－５）＾２＝－（－５）です。すなわち５
文字に付けたマイナスと数字につけたマイナスでは意味が
違います。誤解の無いように。
文字に付けたマイナスは符号を逆転させるという意味です。
補足ですがこれは絶対値 ｜ｘ｜ の定義と一致します。
投稿日時 - 2003-05-10 21:07:51
お礼
ご回答ありがとうございます。
ｘ＜０のときは√ｘ＾２＝－ｘ （ここが大事です）
√（－５）＾２＝－（－５）です。すなわち５
で
x=-5、y=x^2=(-5)x(-5)=25
√x^2は√(x^2)とさせて頂きます(２乗が√の中)
√(x^2)=√y=√25=5
ということですね
つまり
√((-a)^2)=a
ということですね
ありがとうございました。
投稿日時 - 2003-05-11 00:30:00
No.3で回答した者です。
> 記号 √ は，正の平方根を表すと定めたものです
> ので144の平方根は±√144であり、当質問もその
> 内+√144を問題にしていますが、"だから√144
> ≠-12" に付いては飛躍が有り、なぜそうなる
> かを数式で説明できないかをお伺いしております。
ご自身で書かれた文章が矛盾していることにお気づきでしょうか。
144の正の平方根は12，負の平方根は-12ですから，√144を正の平方根としているなら "だから√144≠-12" については何の飛躍もありません。
ひょっとしたら，√は「平方する前の元に戻す」記号だと誤解されているのではないでしょうか？
No.6の補足を読んでも何かしらの誤解があるように見受けられます。
くり返しになりますが，「記号 √ は正の平方根を表すと定めたもの」です。このルールを認めない，もしくは誤解しているとなると，混乱が深まってしまいます。
投稿日時 - 2003-05-10 20:24:44
補足
すみません、どこかに間違いがあると思うのですが、
次の様にご説明するとどうなるでしょうか。
144の負の平方根は-√144、正の平方根は+√144ですが
(±は√の外に注意)、その内正の平方根+√144の√の
中身の符号について考え方を示す為、正の平方根+√144
を次の様にして解くと・・・
y=f(x)=√(x^2)=x・・・(1)
∴(x^2)の正の平方根yは
y=f(x)=x
x=-12の場合y=f(x)=-12となり、
144=((-12)^2)の正の平方根+√144は
+√144=y=f(x)=√(x^2)=x=-12
x=+12の場合y=f(x)=+12となり、
144=((+12)^2)の正の平方根+√144は
+√144=y=f(x)=√(x^2)=x=+12
で144=((+12)^2)の正の平方根+√144
は±両方成り立ってしまいます
(1)の様にf(x)=√(x^2)=xとして、xの値が後から与えら
れる為、代数的に解くときxは＋か－か分からずf(x)=xと
して解き、利用すると思います。
この場合)(1)の√(x^2)=xが間違いかが問題となると思いむますが・・・
投稿日時 - 2003-05-10 22:49:11
お礼
再度ご回答ありがとうございました。
補足の内容がどうしても納得いきません。
宜しくお願い致します。
投稿日時 - 2003-05-10 23:06:27
もっと単純に考えればよいのではないですか?
12^2＝144 , (-12)^2＝144 よって12^2=(-12)^2は
成立する。
√(144)＝12 , √(144)＝-12が成立するならば、
12＝-12が成立することになります。
12≠-12より、±を取ったことにより矛盾が生じます。
有理数、無理数が、数直線上でどのようになっているかを、見れば良いのではないですか?
答えはわかっていながらの質問と思われます。
投稿日時 - 2003-05-10 19:17:13
補足
分かりやすいご説明ありがとうございました。
√に付いて中学３年の教科書では次の様になっています。
aが正の数であるとき、aの２つの平方根のうち
正のほうを √a 負の方を -√a と書く。
この記号√を根号といい、√aは「ルートa」と読む。
これだけですと中学３年の力量で
√144＝√((+12)^2)=√((-12)^2)=±12
と考えた時何処が間違いか判断できません(割り切って
そういうものだとしてしまえば簡単なのですが、他補足
投稿のような迷いが出ますし、割り切らずにどうしてか
を探り出し、明快な裏付けを取る事は、数学を学ぶ上で
重要な事だと思います)。
教科書の説明でmirage70さんの
√(144)＝12 , √(144)＝-12が成立するならば、
12＝-12が成立することになり、
12≠-12より、矛盾が生じます。
の様な説明に加えwaseda2003さんsegmundさんが言
われていた
・√の約束は，
「２乗して√の中身(正数としておきます)になる数
(２つある)のうち， 正のものをあらわす」
や
・√(a^2)=|a|
等を但し書きとして明記が必要なのかもしれません。
ただ、ojyamanboさんの所で補足投稿いたしましたが、
"ご回答の√（－１２）＾２＝－１２ がまちがい"
に付いて
x=-12として
√(x^2)=x=-12・・・(1)
の様に(1)をｘの関数として利用する場合
√の中を先に計算しても答えは－になります。
数式展開の何処に問題が有るか教えてください。
が解決しておらず、(1)をｘの関数とし利用する時
f(x)=√(x^2)=xとして、xが後から与えられる為
代数的に解くときxは＋か－か分からずf(x)=xとして
利用すると思います。
√144＝√((+12)^2)=√((-12)^2)=±12
の様な間違いや、もっと複雑な計算の時に、あくまでも
算式上間違わずに計算できる矛盾のないルールが見出せ
ればと思います。
投稿日時 - 2003-05-10 19:43:07
お礼
ありがとうございました。
投稿日時 - 2003-05-10 21:51:46
