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収束、発散に関する証明問題
lim(n→∞) nCj*λ^(n-j) = 0 ⇔ |λ| ＜ 1 (ｊは有限) （"nCj"の部分はコンビネーションです。） 大学の数値解析で出題された命題です。 (→)方向は対偶により比較的容易に証明できるのですが、(←)方向をどう証明してよいか分かりません。 お分かりの方おられましたら、どうかご教授お願いします。
- townportal
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λ＞0 として証明します。（λ＜0 としても同様です） k＞j/(1-λ) となるkを定めると、 kλ/(k-j)＜1 r=kλ/(k-j) とおくと、 n＞k なるnについて、 nλ/(n-j)＜r nCj*λ^(n-j)=nλ/(n-j)*(n-1)λ/(n-1-j)*・・・*kλ/(k-j)*・・・*(j+2)λ/2*(j+1)λ/1 A=kλ/(k-j)*・・・*(j+2)λ/2*(j+1)λ/1 とおくと、 nCj*λ^(n-j)＜r^(n-k)*A r＜1 なので、 lim(n→∞) nCj*λ^(n-j) = 0
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- koko_u_u
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j は固定なんだから、nCj がどの程度のオーダーで大きくなるか把握で切れば、あとは自明です。
お礼
nCjのオーダーは有限個の数の積であることはわかっているのですが 数式処理がわからなかったもので；； 回答ありがとうございました。
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