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実数体の拡大が複素数と対応することの証明

大学の数学の演習の問題です。 実数体Rを含む(実数同士の演算は普通に定義されている)次のような数の体系Kを考える (ア)元j∈K-Rが存在して、Kの任意の元はa+bj(a,b∈R)の形にただ一通りに表される (イ)Kは可換体である このとき、KからCへの演算を保存する一対一対応が存在することを示せ 示すべきことは f(a+bj)+f(c+dj)=f((a+bj)+(c+dj)) f(a+bj)*f(c+dj)=f((a+bj)*(c+dj)) なるf:K→Cが存在することです 僕が考えたこと f:K→Cをf(a+bj)=a+biで定めると、結局(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)jを示せばいいことになりますが、このやり方が分かりません。 これでは駄目なのでfの選び方が駄目なのかと思って考えてみましたが、どうも見つかりそうにありません。 力を貸してください。 証明を提示していただかなくても、方針やヒントのみでも結構です。

みんなの回答

  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.2

>元j∈K-Rが存在して、Kの任意の元は(a,b)(a,b∈R)の形にただ一通りに表せるとしてもよいものです。 そんなわけがない。 (ア)元j∈K-Rが存在して、Kの任意の元はa+bj(a,b∈R)の形にただ一通りに表される これが、Kの任意の元はを(a,b)(a,b∈R)の形に表わせるという意味だとするなら、何のために j∈K-R なんてものをわざわざ選らんできたのかが意味不明。 (ア)は、可換体K上で定義されている+、×を使って、 Kの任意の元が、 a+b×j と表わされる という意味だと思うけど。 Kは可換体だっていうんだから、当然、結合法則や分配法則も成り立つ。

ymr_2009
質問者

補足

すいません。確かにjを選んだ意味はないですね。忘れてください。 でもa+bjの+や×が可換体K上の+や×でないかもしれないことは確かです 結果的にそうなるかもしれませんが、それは証明の対象です

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

うん? (a+bj) + (c+dj) = (a+c) + (b+d)j は加法が可換かつ結合的であることと, 乗法が加法に対して分配可能であることから言えますよね. (a+bj)(c+dj) については結局 j^2 = x + yj とおくことができ, これを j の 2次方程式とみると (s + tj)^2 が 1, 0, -1 のいずれかとなるような実数 s, t が存在することがわかります. で, このうち 1 と 0 になる場合には零因子が存在してしまい不適. -1 のときはうまくいくんだけど結局複素数と同じ, ということになります. というか, 多分 (ア) の方が問題になりそうなんだけど.

ymr_2009
質問者

補足

(ア)の条件というのは 元j∈K-Rが存在して、Kの任意の元は(a,b)(a,b∈R)の形にただ一通りに表せる としてもよいものです。つまり、a+bjの+は実数体の+ではなく形式的なもので、それが複素数体の+になるとも、実数体の+になるとも言っていません、したがって、結合法則や分配法則を何の証明もなしに使うことはできません

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