公差または公比の集合が等差数列や等比数列になっている数列

質問

こんにちは
私は今、一般常識の練習をしています。
数学の質問です。
数学って難しいですね。
小学生の頃はいつも100点だったのに、いつから嫌いになったのでしょう。
おっと、そんな話は置いておいて
数列についての質問です。
数列の種類って何がありますか。
等差数列と等比数列の他にも、いくつか種類があったような気がしてならないのですがどうでしょう。
たとえば76,64,54,46,40,36です。
この数列の公差の集合は-12,-10,-8,-6,-4というふうに等差数列になっています。
このような数列は何数列というのですか。
変差数列とか順差数列とか、そんな感じの名前ではなかったでしょうか。
でも検索しても、そんな名前は見つかりませんでした。
数年前までは高校生だったのに私の記憶も大したこと無いですね。

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

zyousukeさん、こんばんは。
お返事、ありがとうございます。

＞階差数列とは、ある一定の性質を持った数列という概念ではなく、ある数列に対して、その数列の公差の集合そのものを指していたのですね。

そうそう！そういった感じです。
ただ「公差」というのは、「等差数列で、隣り合う２つの項の差」をいいます。
公、というのは、等しい、というイメージがあります。
ですから、一般の数列のある項と、その一つ前の項の差は、「公差」とはいわないです。
（けっこう細かくてすみません。ちょっと違和感あったもので・・）
zyousukeさんのいわんとしているところは、分かりますよ！それでいいのです。

＞例えば数列1,2,3,4,5,6の階差数列は1,1,1,1,1という具合でしょうか。

そうです、そうです。
もともとが、等差数列である、1,2,3,4,5・・・は
ある項と、その一つ前の項との差を取ってみると
（階差をとってみると）
1,1,1,1,1・・と等しい数字が並ぶはずですよね。

＞「階差数列が、等差数列になっている、数列」は何数列というのですか。

そうですね・・・これに何という名前がついているかは聞いたことがありません。
もしかして、ネーミングされていたら私の勉強不足です、すみません。
あくまでも、階差数列が、等差数列になっているような（特徴を持った）数列、
という風にとらえていただければいいかと思います。

PS.階差数列の階とは、段階の階です。
ある項から、次の項にいく段階だと思ってください。
その差を考えてみたときに、zyousukeさんが知りたいような
等差数列の特徴を持っていたり、等比数列の特徴を持っていたりすることがある、ということなんですね。
階差数列が、そのような特徴を持つとき、もともとの数列をnを用いて表すことができます。
ですから、一見、何の特徴もない数列の一般項を考えよ、という問題が出たときは
階差数列を考えて見ると、大変有効である場合が多いです。

ご参考になればうれしいです。

お礼

fushigichanさん、ご返信ありがとうございます。
なんと私は言葉の意味を知りもしないで使っていたということですか。
公差というのは、そもそも等差数列における隣り合った項の差をいうのであって、それ以外の数列については公差なんて言葉は無いということですね。
漢字をよく見れば「項差」ではなく「公差」なので分かりそうなものですが、何とふがいない!!
しかも、この質問のタイトルに「公差の集合」なんて書いてしまいましたが、この日本語は意味不明ですね。
公差は1つしか無いのですから集合なんてできないですものね。
昔「ご立腹」を「満足」の意味で使っていて友人に訂正され大恥をかきましたが今もそれと同じくらい恥ずかしいです(恥)。

回答No.3

fushigichan

zyousukeさん、こんにちは。

＞たとえば76,64,54,46,40,36です。
この数列の公差の集合は-12,-10,-8,-6,-4というふうに等差数列になっています。
このような数列は何数列というのですか。

このような数列は、「階差数列が、等差数列になっている、数列」です。
階差数列とは、
数列{a[n]}のn+1番目と、n番目の差を取った数列、と言う意味です。
つまり、{a[n]}の階差数列を、{b[n]}とすると、
a[n+1]-a[n]=b[n]
となります。

zyousukeさんの例では、
b[1]=-12,b[n]=2(n-1)-12=2n-14となっています。

ここで、あくまで、b[n]のことを階差数列というのであって、
a[n]のことは、等比数列でも、等差数列でもないです。
階差をとると、たまたまそれが等差数列になっていた、ということなんです。

階差数列が、等比数列になっているような数列もあります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
どうも私は階差数列の意味を大きく勘違いしていたようです。
階差数列とは、ある一定の性質を持った数列という概念ではなく、ある数列に対して、その数列の公差の集合そのものを指していたのですね。
例えば数列1,2,3,4,5,6の階差数列は1,1,1,1,1という具合でしょうか。

さて本題に戻りますが、ここでfushigichanさんがいう「階差数列が、等差数列になっている、数列」は何数列というのですか。
ひょっとして、このような数列は特に名前が定義されてはいないということでしょうか。

回答No.2

arukamun

No.1のarukamunです。
＞ご回答ありがとうございます。
＞おお、そうだそうだ階差数列でした。
＞ということは、もう1つは階比数列ですか。
いいえ、階比数列という表現はしないと思います。

恐らく思い出したい数列の名前はフィボナッチ数列だと思いますが。
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...
ですね。
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
というのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
どうもフィボナッチ数列というのは前の項の値を足した値が次の項の値になるという性質の数列のようですね。
しかし、これは私が思い出したい数列とは違います。
私が思い出したい数列は、たとえば1,1,2,8,64,1024です。
この数列の公比の集合1,2,4,8,16は初項1項比2の等比数列になっています。
このような数列を階比数列と呼ぶと思ったのですが、こんな名前の数列は存在しないのでしょうか。

回答No.1

arukamun

＞等差数列と等比数列の他にも、いくつか種類があったような気がしてならないのですがどうでしょう。
＞たとえば76,64,54,46,40,36です。
＞この数列の公差の集合は-12,-10,-8,-6,-4というふうに等差数列になっています。

階差数列といいます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
おお、そうだそうだ階差数列でした。
ということは、もう1つは階比数列ですか。
公比が等比数列だから、どんどん桁数が上がってしまうという計算の面倒くさい数列です。