宝くじロト・シックスの確率は？

質問

数学の時間で確率の計算方法を勉強したと思います。全く思い出せないのですが。　最近話題のロト・シックス（数字０１～４３）の確率が１/６,０９６,４５４となる計算方法を教えてください。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

●問題１：1～43までの数字を、重複なしに６つ選びます。並べる順番は関係がない。何通りの選び方があるか。

「並べ方」と「選び方」の概念の違いと、両者の関係が分かればご了解戴けると思います。

(1) ひとつづつ数字を選んで並べてみましょう。
最初の数字は43通りある。２番目は残りの42通りの数字から選ぶ。３番目は残りの41通りから....
とやると
N=43×42×41×40×39×38
通りできる。だから１～43のうちの６個を並べる「並べ方」は丁度N通りあります。

　しかしですよ、この中には1,2,3,4,5,6という「並べ方」も、2,1,3,5,4,6という「並べ方」も、別々のケースとして勘定されています。でもロトでは数字を並べる順番は関係がないんでした。だからNでは多すぎる。

(2) 今度は、相異なる６つの数字を並べる並べ方が何通りあるか考えてみます。さっきと同じ考え方で、
最初の数字は6通り選び方がある。２つ目は5通り、.....６つ目は1通り。だから、
M = 6×5×4×3×2×1
通りの並べ方がある。つまり、どんな６個の数字の組み合わせであれ、並べ方を変えるだけでM通りに「水増し」できるわけです。

(3)　N通りの「並べ方」のうちの一つ<a1,a2,a3,a4,a5,a6>を取り出してみると、それと同じ数字の組み合わせでできている他の「並べ方」M通りが、N通りのうちに含まれている。ところがロトではこれら（使っている数字が同じで並べ方が違うだけのもの）M通りは全部同じものと考えます。使っている数字の組み合わせ（つまり「選び方」）が違うものが何通りあるか、が問題です。一つの「選び方」についてM通りずつの「並べ方」があるのだから、「選び方」自体は
N÷M 通り
である。これが答です。

(4) 検算しましょう。（N÷M )通りある６個の数字の組（選び方）の一つA={a1,a2,a3,a4,a5,a6} について、M通りの並べ方ができる。別の６個の数字の組（選び方）Bを持ってくると、これはAとは使っている数字が少なくとも一つ違いますから、どう並べ直したってAを並べたものと一致することはあり得ません。従ってAとＢのそれぞれの並べかたを合わせて２×M=12通りができ、その中には重複は有りません。同様にして、全部で（N÷M )通りある選び方のそれぞれについて、M通りの並べ方があるのだから、全部で(N÷M)×M = N通りの並べ方がある。

(5) これを式で書いてみましょう。
n ! (nの階乗)というのは n ! = n×(n-1)×.....×2×1の意味です。だから
M = 6!
ですね。一方、
N =43! / (43-6)!
と書ける。分子と分母で余計な数字が打ち消し合って、N=43×42×41×40×39×38になることを確かめてください。
従って答である(N÷M )は
N÷M = 43! / ((43-6)! 6!)
ということになります。これをしばしば記号 43Ｃ6 = 43! / ((43-6)! 6!) で表します。"Ｃ"は組み合わせ(combination)の頭文字です。）

さて、
●問題２：ロト・シックスで１等を当てる確率は？

全部で 43Ｃ6 通りある「選び方」の中で、１等になるのは１通りだけであり、どの選び方が起こりやすいということもない。どんな「選び方」にも同じ当選確率があると考えられます。だから答は
1÷(43Ｃ6) = ((43-6)! 6!)/43!
ということです。約600万分の1ですか。１年以内にあなたが交通事故で死亡する確率の方が、これより数百倍大きいわけですね。

お礼

ご丁寧に、説明をしていただき、有難うございました。
色々と参考になりました。
でも、ちょっと、最後のセンテンスの文章怖い。