微分

質問

1）sinθcosθ＝tとおく。0°≦θ≦90°のとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。
2）0°≦θ≦90°のとき、sin^3θ+cos^3θのとりうる値の範囲を求めよ。

全く手がでないので…よろしくお願いします<(_ _)>

回答No.5

info22

#4です。
A#4の補足の問題の訂正について
回答に無用な迷惑を掛けるので
投稿者は問題の間違いを絶対してはいけないよ。
今後気をつけて下さい。
回答者の回答がすべて無駄になりました。

訂正後の問題についてのアドバイス
1)
>sinθ+cosθ=t
t=(√2)sin(θ+45°)
0°≦θ≦90°のとき
45°≦θ+45°≦135°なので
1/√2≦sin(θ+45°)≦1
両辺に√2を掛けて
1≦t=(√2)sin(θ+45°)≦√2

2) sin^3θ+cos^3θ=(sinθ+cosθ)(sin^2θ+cos^2θ-sinθcosθ)
　=(sinθ+cosθ){3(sin^2θ+cos^2θ)-(sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ)}/2
=t(3-t^2)/2=-t(t-√3)(t+√3)/2
=f(t)とおくと
1)で求めた範囲でのf(t)の関数の値域を調べると
f(1)≧f(t)≧f(√2)
であることが分かる。
最大値がf(1),最小値がf(√2)となりますね。

後は自分でやってみて下さい。

分からなければ、途中計算を書いた上で質問して下さい。

回答No.4

info22

解き方
1)
t=(1/2)sin(2θ)
0°≦2θ≦180°なので
0≦sin(2θ)≦1
従ってtの範囲は分かりますね。
0≦t≦□ ?

2)
0°≦θ≦90°のとき sinθ+cosθ=(√2)sin(θ+45°)≧1
t=sinθcosθ
sinθ+cosθ=√(sinθ+cosθ)^2=√(1+2t)
なので
sin^3θ+cos^3θ=(sinθ+cosθ)(sin^2θ+cos^2θ-sinθcosθ)
　=(1-t)√(1+2t)
　=f(t)とおく。
f(t)を1)で求めたtの範囲でf(t)のとりうる範囲を求めればよいでしょう。
　□≦f(t)≦□ ?

補足

問題文間違えていました；
sinθ+cosθ=t　でした。すみません<(_ _)>

回答No.3

noremiko

no.2と同じ者です。

２）　sin^3θ+cos^3θ＝ａ　とすると、
ａ＝（sinθ＋cosθ）（sin^2θ　+　sinθcosθ　+　cos^2θ）

sin^2θ+cos^2θ＝１なので、

ａ＝（sinθ　+　cosθ）（１＋sinθcosθ）となります。

ここで、sinθ　+　cosθ　は、

θ＝0°または90°で最小値１（sinθかcosθのどちらかが１，どちらかが０となります）

θ＝４５°で最大値ルート２（sinθもcosθもルート２／２となります）

をとりますから、
ａの最小値は、θ＝0°または90°で、１（sinθ＋cosθ＝１，１＋sinθcosθ＝１です）
またａの最大値は、θ＝４５°で、３ルート２／２（sinθ＋cosθ＝ルート２，１＋sinθcosθ＝３／２です）

よって、ａの値の範囲は、
１～３ルート２／２（答）

ルート表記ができず、分かりにくくなりましたが、何か追加質問等あればどうぞ。長々失礼しました。

回答No.2

noremiko

１）単位円を書いて考えましょう。
最小の時・・・θ＝０°のとき、ｔ＝０（sinθ＝０，cosθ＝１となります）
最大の時・・・θ＝45°のとき、ｔ＝１／２（sinθ＝ルート２／２、cosθ＝ルート２／２となります）
よって、ｔの値の範囲は、０～１／２

回答No.1

naniwacchi

1)は、倍角公式を使いましょう。

2)ですが、やはり1)を利用したいですね。
sin^3θ+cos^3θは、まず因数分解します。
あとは、sin^2θ+cos^2θ=1を利用して、sinθcosθ＝tだけの形に変形します。
1)でtのとりうる値の範囲がわかっているので、その範囲での最大値・最小値を求めます。