円の方程式を求めるときの、中心の求め方

質問

寺田文行『鉄則数学(1)』に載っている問題で、次の條件を満たす円の方程式を求める問題です。
・２点(1,5),(3,-1)を通り、半径√10

私は、この円の中心を(a,b)とすると、
(1,5)を通ることから (1-a)^2+(5-b)^2=10
(3,-1)を通ることから (3-a)^2+(-1-b)^2=10
と考えたのですが、ここからどうすればa,bが求まるのかわかりませんでした。

載っている答えは
(x-2)^2+(y-2)^2=10
です。
問題を見た感じでは條件を満たす円は２つあるように思ったのですが、１つだけでしょうか。

回答No.4

grothendieck · ベストアンサー

このような円は一般には二つ有りますが、二つが重なって一つの円になることもあります。
　(1-a)^2+(5-b)^2=10 ...(1)
　(3-a)^2+(-1-b)^2=10 ...(2)
各辺の引き算を行って整理すると
　a=3b-4 ...(3)
この方程式はなんでしょう？　二つの円の中心を結ぶ直線ですね。これを(1)に代入してbを求めると
　b=2
(3)に代入してa=2

お礼

ありがとうございました。

このご回答がいちばんわかりやすいと感じました。

回答No.5

kotaedesu1

一般的な解法を書けば
(1-a)^2+(5-b)^2=10・・・（1）
(3-a)^2+(-1-b)^2=10 ・・・（2）
とするとき
この二つの式より
aを　bの式であらわし
｛（１）-（2）などから導く｝
どちらかへ代入して解く。

　今回の場合は　たまたま　重解を持つので
答えは一つ。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

arukamun

まず、２点を通る円の個数を調べるため、２点間の距離を求めてみましょう。

　xの増加量は3-1=2
　yの増加量は5--1=5+1=6
　２点間の距離は√(2^2+6^2)=√40=2√10

半径は√10という事なので、直径は2√10ですね。
２点間の距離と等しい為、２点を通る円は１個しか存在せず、円の中心は２点の中点という事です。

よって円の中心は(2,2)ですので、円の方程式は
(x-2)^2+(y-2)^2=10
です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

gator

殆どできていますよ。

(1-a)^2+(5-b)^2=10
(3-a)^2+(-1-b)^2=10
この連立方程式を解けば良いのです。とにかく全部(○-○)^2
を計算して、式どうしの引き算をすれば、2乗の項は消えて、
aとbの一次式になります。これは実は2点からの距離が等しい
点の集合=2点の垂直2等分線になります。

この関係を最初の2式のどちらかへ代入するとaかbの2次方程式
になりますが、この解が重根と言うのでしたっけ?解が一つになり
ます。確かに一般的には2次方程式の解は2つあり、従って円は
2つになるというのは、正しい考え方ですが、重根ということは、
上述の垂直2等分線上の、、、。そうか!そもそも、2点間の距離は
、、、?

この辺にしておきましょう。

以上

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

tamagawa49

(1,5)と(3,-1)との距離を求めると2√10となります。
つまり、与えられた２点はちょうど直径の両端と言うことになります。

そう考えると、よくある(1,5),(3,-1)を直径の両端とする円の方程式を求めることになりますから、中心は２点の中点である(2,2)、半径√10。

従って(x-2)^2+(y-2)^2=10となると思います。
自動的に他の円は考えられません（答えは１つです）。

お礼

ありがとうございます。