当たりくじを引く確率

質問

初めまして、こんにちは。
確率のことで教えて欲しいことがあり、質問いたしております。
数学は得意ではありません……。

次のような場合、確率はどうなるのか、どういった計算になるのかを知りたいです。

【当たりくじを引く確率】
・くじが100本ある。
・当たりくじは2本ある。
・くじは常に100本の状態からひく。（本数は減らない）
・ひくチャンスは3回。
・3回のうち、「1回でも当たりをひければ勝ち」

…という条件の時、「勝ち」判定になる確率はどのくらいですか？

連続でひくなら、なんとなく2%×2%×2%くらいの確率？？と思うのですが、「1回でも」という条件がつくと、途端に分からなくなります。
公式も知りたいですが、その場合、出来ればこまかーく（式の中略とかあまりなしに）教えてくださると嬉しいです。
色々と質問を見てみたのですが、確率論的独立性？？とか急に難しく聞こえる話になって、混乱しました……。
そして、この話になると出てくるCとかPが、どういう風に式になるのかも分からない状態です。
お時間のある方、教えていただけると幸いです。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

#1の人は「1回でも当たりを引ければ勝ち」で、同じチャンスが50回あるときは2%×50＝100%の確率になると思うのだろうか？

この問題の場合は「1回でも」という条件をどのように考えるかが難しいところです。
3回くじを引くのだからあたりになるのは0回、1回、2回、3回のどれかですが、「1回でも」という条件はつまり当たりが1回、2回、3回のどれかということです。
これを1回の場合の確率はxxで、2回の場合の確率はyyで、3回の場合の確率はzzだから求める確率はxx+yy+zzになる、という計算は面倒ですね。このような時は0回である確率を求めて、全体の確率=1から引くことで計算が楽になります。
0回である確率=3回ともはずれの確率=98%×98%×98%です。
だから求めたい確率は1-98%×98%×98%になるわけです。

お礼

大変分かりやすい回答、ありがとうございます。
「0回の確率を求めた方が楽」というのは目から鱗でした。
どうしても「当たる確率が必要なんだから、当たりの確率を求めなきゃ！」という意識が強くなってしまうもので。
ただ、
0回である確率＝1-1回は当たる確率
1-0.98*0.98*0.98=0.058808

じゃあ、おっしゃる通り「xx+yy+zz」でやると、
1回当たる確率：0.98*0.98*0.02=0.019208
2回当たる確率：0.98*0.02*0.02=0.000392
3回当たる確率：0.02*0.02*0.02=0.000008
0.019208+0.00392+0.000008=0.023136

…なんか違いました。
で、どうやったらこれが0.05...に近づくのか考えて、

1回当たる：1回目・2回目・3回目のどれかで1回当たりだから、×3
2回当たる：1・2回目と2・3回目と1・3回目のどれかで1回当たりだから×3
3回当たる：全部だから×1

で、結局、

0.98*0.98*0.02*3+0.000392*3;0.02*0.02*0.02=0.058808

ということで、計算があったと思うのですが……。
これでいいんでしょうか？？

回答No.5

naniwacchi

#4の者です。
「余事象」って聞きなれない言葉ですね。すみません。
「あてはまる以外の事柄」とでもいえばいいでしょうか。

いまの場合だと、「少なくとも1回当たるとは」
・1回だけ当たる
・2回だけ当たる
・3回とも当たる
となります。
これ以外にありえるものは？と聞かれると「1回も当たらない」というのがあります。
となると、

「ありえるすべての事柄」－「1回も当たらない」＝「少なくとも1回は当たる」

ということになります。「1回も当たらない」が余事象ということになります。

お礼

追加情報、ありがとうございました。
（すみません、長い間ここを見られなかったもので…）

余事象の説明、とても分かりやすかったです。
今度でて来た時はきっと「あ！」と思えると思います。

回答No.4

naniwacchi

確率の問題でよくある形です。
このような問題では、「少なくとも1回は」というように「少なくとも」というフレーズがよく使われます。
このようなときには、１－（余事象の確率）から計算するのが常套手段です。

いまの問題では 1-(98/100)^3 を計算することになりますが、
x^3-y^3=・・・の因数分解を適用すると少し計算が楽になります。
答えは、#1の方の答えと「微妙な数字」になります。

お礼

アドバイスありがとうございます。
「１－（余事象の確率）」と言われて、「よじしょうってなに！？」→調べる→言葉の意味は分かる→公式出されると混乱……というのが、いつものパターンです。（笑）
そして因数分解はこの世にそう言う言葉があるのは知っていますが、基本的に加減乗除以外の記号が出てくると、真っ白になります。
分かってるんです。省略した方が良いのは分かってるんです。
でも、頭の中でその記号をエンコードするのに時間がかかるんです……。
そして#1の方の答えはあってるのでしょうか？？100％になっちゃわないですか？

回答No.3

nattocurry

「負け」判定になる確率を考えましょう。
そして、１からそれを引きましょう。

お礼

シンプルな回答ありがとうございました！

回答No.1

yumitsuki

> 2%×2%×2%
これは、「3回とも当たりくじを引く確率」です。

「1回でも当たりを引ければ勝ち」で、同じチャンスが3回あるのなら、
2%×3＝6%
の確率になります。

補足

回答ありがとうございます。
考える途中で、同じところへ行きつきました。
でも#2さんのおっしゃる通り、100％になっちゃったので「毎回100本からひくんだから、ずっと６％じゃない？」という方向になりました。
難しいですよねぇ……。