f(0)=0となった時のことについて
- 多項式とは限らない関数f(x)について、f(0)=0となった時について質問があります。
- f(x)=x*g(x)と表すことができるのか、もしできるならg(x)はどういった性質をもつ関数なのか知りたいです。
- f(x)が多項式でない場合でもf(0)=0の場合、どうなるのかについても知りたいです。
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f(0)=0となった時のことについて
多項式とは限らない関数f(x)について、 f(0)=0となった時について質問があります。 f(0)=0なら、gをxについての関数で、 x=0のときにも定義されるものとすると、 f(x)=x*g(x)と表すことができるのでしょうか？ また、そう表すことができるなら、g(x)は具体的に どういった性質をもつ関数だと言えるのでしょうか？ 例えば、多項式なのでしょうか？ もし、f(x)が多項式だったら、f(0)=0のとき、 gをxについての多項式として、f(x)=x*g(x)と 表わすことができると思うのですが… f(x)が多項式とは限らない時にf(0)=0だったら どうなるかということが気になります。 その他でf(0)=0について言えることがあれば、 それも回答願います。
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f がどんな関数であっても、g を g(x) = f(x) / x (x≠0 のとき) g(0) = (好きな定数) と定義すれば、f(x) = x g(x) は成り立ちます。 f が多項式ならば、因数定理より、 f(x) = x g(x) となるような多項式 g が在りますが、 G(x) = g(x) (x≠0 のとき) G(0) = g(0) + 1 などとしても、f(x) = x G(x) が成り立ってしまうので、 g に連続性などの制限を設けて議論するのでなければ あまり意味がありません。 f が多項式とは限らないとき、 f(x) = x g(x) が成立するような、連続な g が存在しない 場合もあります。 例えば、f(x) = √|x|。
その他の回答 (1)
f(0)=0なら、gをxについての関数で、 x=0のときにも定義されるものとすると、 f(x)=x*g(x)と表すことができるよ。
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お礼
回答ありがとうございました。
補足
回答ありがとうございます。 >>f がどんな関数であっても、g を >> g(x) = f(x) / x (x≠0 のとき) >> g(0) = (好きな定数) >>と定義すれば、f(x) = x g(x) は成り立ちます。 とありますが、ということは、 fがどんな関数であっても、f(0)=0が成り立てば、 g(x) = f(x) / x (x≠0 のとき) g(0) = (好きな定数) としてf(x)=x g(x) と書けるということでしょうか？